1. dia

EUCLID (i.e. 365-300 körül)

Nagy Matematikusok Galériája

Felkészítője a Kalinyingrádi Városi Oktatási Intézmény 36. számú Középiskolájának matematikatanára, Kovalcsuk Larisa Leonidovna

2. dia

Szinte semmit sem tudunk ennek a tudósnak az életéről. Róla csak néhány legenda jutott el hozzánk. Az Elemek első kommentátora, Proklosz (i.sz. 5. század) nem tudta megmondani, hol és mikor született és halt meg Eukleidész. Proklosz szerint „ez a tudós ember” I. Ptolemaiosz uralkodása alatt élt. Egy 12. századi arab kézirat lapjain megőriztek néhány életrajzi adatot: „Eukleidész, Naukratész fia, akit „Geometra” néven ismernek, a régi idők tudósa, származása szerint görög, lakóhelye szerint szír, eredetileg Tíruszból származik."

3. dia

Az egyik legenda szerint Ptolemaiosz király a geometria tanulmányozása mellett döntött. De kiderült, hogy ezt nem is olyan könnyű megtenni. Aztán felhívta Eukleidészt, és megkérte, mutasson neki egy könnyű utat a matematikához. „Nincs királyi út a geometriához” – válaszolta a tudós. Így jutott el hozzánk ez a népszerű kifejezés legenda formájában.

4. dia

I. Ptolemaiosz király államának felmagasztalása érdekében tudósokat és költőket vonzott az országba, létrehozva számukra a múzsák templomát - Museiont. Voltak itt dolgozószobák, botanikus és állatkert, csillagászati ​​iroda, csillagászati ​​torony, magányos munkára alkalmas helyiségek, és ami a legfontosabb, egy pompás könyvtár. A meghívott tudósok között volt Eukleidész is, aki Egyiptom fővárosában, Alexandriában matematikai iskolát alapított, és annak diákjai számára írta alapművét.

5. dia

Alexandriában alapított Eukleidész egy matematikai iskolát, és írt egy nagyszerű munkát a geometriáról, amelyet az „Elemek” általános cím alatt egyesítettek - élete fő műve. Feltételezések szerint Kr.e. 325 körül írták. Eukleidész elődei – Thalész, Püthagorasz, Arisztotelész és mások – sokat tettek a geometria fejlesztéséért. De ezek mind külön töredékek voltak, és nem egyetlen logikai séma.

6. dia

Eukleidész kortársait és követőit egyaránt vonzotta a bemutatott információk szisztematikus és logikus jellege. Az „Elvek” tizenhárom könyvből áll, amelyek egyetlen logikai séma szerint épülnek fel. A tizenhárom könyv mindegyike a benne használt fogalmak (pont, egyenes, sík, ábra stb.) meghatározásával kezdődik, majd néhány alapvető rendelkezés (5 axióma és 5 posztulátum) alapján elfogadja. bizonyíték nélkül az egész rendszer geometriailag épül fel.

7. dia

Abban az időben a tudomány fejlődése nem jelentette a gyakorlati matematikai módszerek jelenlétét. Az I-IV. könyv a geometriával foglalkozott, tartalmuk a Pitagorasz iskola műveire nyúlik vissza. Az V. könyvben kidolgozták az arányok tanát, amely szomszédos Knidusi Eudoxusszal. A VII-IX. könyv tartalmazta a számok tanát, amely a pitagorasz elsődleges forrásainak fejlődését képviseli. Az X-XII. könyv tartalmazza a síkbeli és térbeli területek meghatározását (sztereometria), az irracionalitás elméletét (különösen a X. könyvben); A XIII. könyv a szabályos testekről szóló tanulmányokat tartalmaz, Theaetetusig visszanyúlva.

8. dia

Raphael Santi, Euclid, részlet 1508-11, freskó "Athéni Iskola" Stanz della Segnatura, Vatikán, Róma, Olaszország

9. dia

Euklidész „Elvei” a ma is euklideszi geometria néven ismert geometriának a kifejtése. Leírja a tér metrikus tulajdonságait, amelyet a modern tudomány euklideszi térnek nevez. Az euklideszi tér a klasszikus fizika fizikai jelenségeinek színtere, melynek alapjait Galilei és Newton fektette le. Ez a tér üres, határtalan, izotróp, háromdimenziós. Euklidész matematikai bizonyosságot adott az atomok mozgásának üres tér atomisztikus elképzeléséhez. Euklidész legegyszerűbb geometriai objektuma egy pont, amelyet úgy határoz meg, mint aminek nincsenek részei. Más szóval, egy pont a tér oszthatatlan atomja.

10. dia

A tér végtelenségét három posztulátum jellemzi: „Egyenes vonal bármely pontból bármely pontba húzható.” "Egy korlátos egyenes folyamatosan meghosszabbítható egy egyenes mentén." "Egy kör bármely középpontból és bármilyen megoldással leírható."

11. dia

A párhuzamok doktrínája és a híres ötödik posztulátum („Ha egy két egyenesre eső egyenes belső szögeket képez, és az egyik oldalon kisebb, mint két derékszög, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek mint két derékszög”) határozza meg az euklideszi tér és geometriájának tulajdonságait, amelyek különböznek a nem euklideszi geometriáktól.

12. dia

Az Elemekről általában azt mondják, hogy a Biblia után az ókor legnépszerűbb írásos emléke. A könyvnek megvan a maga, nagyon figyelemre méltó története. Kétezer évig referenciakönyv volt az iskolások számára, és kezdeti geometriai kurzusként használták. Az Elemek rendkívül népszerűek voltak, és sok másolatot készítettek belőlük szorgalmas írnokok különböző városokban és országokban. Később az „Elvek” a papiruszról a pergamenre, majd a papírra kerültek. A könyv a 20. századig nemcsak az iskolák, hanem az egyetemek számára is a geometria fő tankönyvének számított.

13. dia

Eukleidész "elveit" az arabok, majd az európai tudósok alaposan tanulmányozták. Lefordították őket a világ legjelentősebb nyelveire. Az első eredeti példányokat 1533-ban Bázelben nyomtatták. Érdekes, hogy az első angol fordítást 1570-ben készítette el, a londoni kereskedő, Euclid birtokolja a részben megőrzött, részben rekonstruált matematikai műveket két tetszőlegesen választott természetes szám legnagyobb közös osztójának megszerzésére szolgáló algoritmus, valamint egy adott számból prímszámok keresésére szolgáló „Eratoszthenész-számlálás” nevű algoritmus.

14. dia

Euklidész lefektette a geometriai optika alapjait, amelyet „Optika” és „Katoptrica” című munkáiban vázolt fel. A geometriai optika alapkoncepciója az egyenes vonalú fénysugár. Eukleidész azzal érvelt, hogy a fénysugár a szemből származik (a vizuális sugarak elmélete), ami a geometriai konstrukciók szempontjából nem jelentős. Ismeri a visszaverődés törvényét és a homorú gömbtükör fókuszáló hatását, bár a fókusz pontos helyzetét továbbra sem tudja meghatározni. Mindenesetre a fizika történetében Euklidész, mint a geometriai optika megalapítójának neve bekerült. a megfelelő helye.

15. dia

Az Euklidészben egy monokkord leírását is találjuk - egy húros eszköz a húr és részei hangmagasságának meghatározására. Úgy tartják, hogy a monokordot Pythagoras találta fel, és Eukleidész csak leírta („A kánon felosztása”, ie 3. század). Eukleidész a rá jellemző szenvedéllyel vette fel az intervallumrelációk numerikus rendszerét. A monokkord feltalálása fontos volt a zene fejlődése szempontjából. Fokozatosan egy húr helyett kettőt vagy hármat kezdtek használni. Ez volt a billentyűs hangszerek, először a csembaló, majd a zongora megalkotásának kezdete, és ezeknek a hangszereknek a megjelenésének kiváltó oka a matematika volt.

16. dia

Természetesen az euklideszi tér minden jellemzőjét nem azonnal fedezték fel, hanem több évszázados tudományos gondolkodás eredményeként, de ennek a munkának a kiindulópontja Eukleidész „Elemei” volt. Az euklideszi geometria alapjainak ismerete ma már világszerte elengedhetetlen eleme az általános oktatásnak.

17. dia

http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html

A prezentáció leírása külön diánként:

1 csúszda

Dia leírása:

„Ez a legcsodálatosabb gondolati munka megadta az emberi elmének azt az önbizalmat, amely a későbbi tevékenységéhez szükséges volt. Nem elméleti kutatásra született, aki fiatalkorában nem csodálta ezt az alkotást." Albert Einstein

2 csúszda

Dia leírása:

Euklideszi geometria Az euklideszi geometria a geometria, melynek szisztematikus felépítését először a 3. században adták meg. időszámításunk előtt e. Eukleidész. Az euklideszi geometria axiómarendszere a következő alapfogalmakon alapul: pont, egyenes, sík, mozgás és a következő összefüggéseken: „egy pont egy síkon egy egyenesen fekszik”, „egy pont két másik között van”. A modern megjelenítésben az euklideszi geometriák axiómarendszerét öt csoportra osztják.

3 csúszda

Dia leírása:

Az Elemek Eudoxus szerint felvázolják a planimetriát, a sztereometriát, az aritmetikát és az összefüggéseket. Heiberg klasszikus rekonstrukciójában a teljes mű 13 könyvből áll. Az Elemekben való megjelenítés szigorúan deduktív. Minden könyv definíciókkal kezdődik. Az első könyvben a definíciókat axiómák és posztulátumok követik. Aztán vannak olyan mondatok, amelyek problémákra (amiben valamit meg kell alkotni) és tételekre (amiben valamit bizonyítanod kell) oszlanak. Eukleidész "elemei"

4 csúszda

Dia leírása:

Az első könyv definíciókkal kezdődik, amelyek közül az első hét így szól: A pont valami, aminek nincsenek részei („A pont olyan, aminek semmi sem része”). Vonal - hosszúság szélesség nélkül. A vonal élei pontok. Az egyenes az, amelyik minden pontján egyformán fekszik. A felület az, aminek csak hossza és szélessége van. A felület szélei vonalak. Sík felület az, amelyik minden vonalán egyformán fekszik.

5 csúszda

Dia leírása:

A definíciókat követve Eukleidész posztulátumokat ad: Bármely pontból tetszőleges pontba húzható egyenes. A behatárolt vonal egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható. Egy kör bármely középpontból bármilyen megoldással leírható. Minden derékszög egyenlő egymással. Ha egy két egyenest metsző egyenes két derékszögnél kisebb belső egyoldalú szögeket alkot, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög.

6 csúszda

Dia leírása:

A posztulátumokat axiómák követik, amelyek általános állítások jellegével bírnak, amelyek egyformán érvényesek a számokra és a folytonos mennyiségekre: Azok, amelyek azonosak, egyenlők egymással. És ha egyenlőket egyenlőkhez adunk, akkor az egészek egyenlők lesznek. És ha az egyenlőket kivonjuk az egyenlőkből, akkor a maradékok egyenlők lesznek. És ha egyenlőt adunk az egyenlőtlenekhez, akkor az egészek nem lesznek egyenlők. És ugyanannak a dolognak a duplája egyenlő egymással. És ugyanannak a dolognak a felei egyenlők egymással. És azok, amelyek egymással kombinálódnak, egyenlőek egymással. És az egész nagyobb, mint a rész. Két egyenes pedig nem tartalmaz szóközt. Ezután megvizsgáljuk a háromszögek egyenlőségének és egyenlőtlenségének különböző eseteit; tételek párhuzamos egyenesekről és paralelogrammákról; az úgynevezett „lokális” tételek a háromszögek és paralelogrammák területének egyenlőségéről ugyanazon az alapon és azonos magasság alatt. Az I. könyv a Pitagorasz-tétellel zárul.

7 csúszda

Dia leírása:

A II-XIII. könyvek tartalmának áttekintése II. könyv - az úgynevezett „geometriai algebra” tételei. III. könyv – javaslatok a körökről, azok érintőiről és akkordjairól. IV. könyv - javaslatok a beírt és körülírt sokszögekről. Az V. könyv egy általános kapcsolatelmélet, amelyet Cnidus Eudoxus dolgozott ki. VI. könyv - a geometriai alakzatok hasonlóságának tana. A VII., VIII. és IX. könyv az elméleti aritmetikának (az egész számok és a racionális számok elmélete) foglalkozik. X. könyv - összemérhetetlen mennyiségek osztályozása (kvadratikus irracionalitások). XI. könyv - a sztereometria kezdetei. XII. könyv - tételek piramisokról és kúpokról, a kimerítés módszerével bizonyított (területek és térfogatok). XIII. könyv - szabályos poliéderek építése; bizonyíték arra, hogy pontosan öt szabályos poliéder létezik.

8 csúszda

Dia leírása:

Euklidész második művét az Elemek után általában Datanak nevezik, amely bevezető a geometriai elemzésbe. Euklidész birtokolja a „jelenségeket” is, amelyek az elemi szférikus csillagászatnak szentelték őket; „Optika”, a perspektíva elméletének szentelt; "Catoptrics", amelyet a tükrök matematikai elméletének szenteltek; egy kis értekezés „A kánon szakaszai” (tíz feladatot tartalmaz zenei intervallumokról); az ábraterületek felosztásával kapcsolatos problémagyűjtemény „A felosztásokról” (arab fordításban jutott el hozzánk). Mindezen művekben, akárcsak a Principiában, a bemutatás szigorú logikának van alávetve, és a tételek pontosan megfogalmazott fizikai hipotézisekből és matematikai posztulátumokból származnak. Eukleidész munkái közül sok elveszett, csak a más szerzők munkáiban található hivatkozások alapján tudunk a múltról. Egyéb írások

9. dia

Dia leírása:

Az eukleidészi axiómarendszer vizsgálata a 19. század második felében megmutatta annak hiányosságát. 1899-ben D. Hilbert javasolta az euklideszi geometria első kellően szigorú axiomatikáját. Hilbert előtt sok tudós tett kísérletet az euklideszi axiomatika tökéletesítésére, de Hilbert megközelítése a fogalomválasztás minden konzervatív volta ellenére sikeresebbnek bizonyult. David Hilbert (1862-1943) kiemelkedő német egyetemes matematikus volt, aki jelentős mértékben hozzájárult számos matematikai terület fejlődéséhez. Az 1910-1920-as években elismert világelső volt a matematikusok terén.

10 csúszda

Dia leírása:

Az euklideszi geometria megjelenése szorosan összefügg a minket körülvevő világról alkotott vizuális elképzelésekkel (egyenes vonalak - kifeszített szálak, fénysugarak stb.). Megértésünk elmélyítésének hosszú folyamata a geometria elvontabb megértéséhez vezetett. N. I. Lobacsevszkij az euklideszi geometriától eltérő geometriát megmutatta, hogy a térről alkotott elképzeléseink nem a priori. Más szóval, az euklideszi geometria nem mondhatja magát az egyetlen geometriának, amely leírja a minket körülvevő tér tulajdonságait. A természettudomány (elsősorban a fizika és a csillagászat) fejlődése megmutatta, hogy az euklideszi geometria csak bizonyos fokú pontossággal írja le a minket körülvevő tér szerkezetét, és nem alkalmas a testek közeli sebességű mozgásával összefüggő tér tulajdonságainak leírására. felvilágosítani. Így az euklideszi geometria a valós fizikai tér szerkezetének leírására szolgáló első közelítésnek tekinthető.

A kiváló ókori görög matematikus, Eukleidész Megarában, egy görög kisvárosban született. Életéről nagyon keveset tudunk; még ennek az embernek a születési és halálozási dátuma sem ismert. Általában csak a Krisztus előtti negyedik századra utalnak, amikor született, és az időszámításunk előtti harmadik századot, Alexandriában, Egyiptom fővárosában, a görög-macedón Ptolemaiosz-dinasztia alatt. Az ókori világban a Ptolemaioszoknak nem volt párja a tudósok, írók, feltalálók és költők pártfogásában. Ismeretes, hogy Platón tanítványa volt.

Egy napon Ptolemaiosz király megkérdezte Eukleidészt, hogy van-e más, kevésbé bonyolult módja a geometria megértésének, mint amit a tudós az „Elvek”-ben felvázolt. Eukleidész így válaszolt: Ó király, a geometriában nincsenek királyi utak ».

• A tudósok sokáig azt hitték, hogy nincs konkrét történelmi alak, matematikusok egy csoportja rejtőzik Eukleidész név alatt. Létezésére azonban bizonyítékot találtak egy 12. századi kéziratban, amelyet megtaláltak. Eukleidész Alexandriában kötött ki tanárként a Museionban, i.e. szó szerint „a múzsák lakhelye”, sőt – a jövő európai egyetemeinek prototípusa. Ebben a csodálatos városban készítette Eukleidész „Elemek” (vagy latinosított formában „Elemek”) című munkáját. Az Elemek tizenöt könyve tartalmazza az ókori matematika szinte valamennyi legfontosabb vívmányát. Több mint kétezer évig Eukleidész munkája maradt az elemi matematika fő munkája. De Eukleidész teljesítménye nemcsak abban rejlik, hogy törvényeket és tételeket fedezett fel, hanem abban is, hogy a nagy matematikus különböző és kiterjedt elméleti anyagokat hozott egy rendszerbe, és olyan sorrendbe rendezte, hogy minden tétel az előzőből következett. Ő adta meg az első axiómarendszert – a bizonyítás nélkül elfogadott állításokat. Az a tény, hogy a matematikát a legegaktabb tudománynak nevezik, Eukleidész jelentős érdeme.
• Most beszéljünk arról, hogy pontosan mik voltak Eukleidész felfedezései.

• A geometriai algebra (a szakasz- és területszámítás tudománya) alapjai kerültek bemutatásra I. könyv"Kezdődött". Ott figyelembe veszik a szegmenseket, és meghatározzák a rajtuk végzett aritmetikai műveleteket. Például két szegmenst úgy adtunk össze, hogy az egyiket egymás mellé helyeztük, és úgy vontuk ki, hogy a nagyobb szegmensből eltávolítottak egy kisebb részt. A geometriai algebrában definiált kalkulus „echelon” volt. Az első szakasz szegmensekből állt, a második - területek, a harmadik - kötetek. Az eszközök, amelyekkel a geometriai algebrában konstrukciókat lehetett végrehajtani, az iránytű és a vonalzó.
• BAN BEN könyv II figyelembe veszik a háromszögek, téglalapok, paralelogrammák alapvető tulajdonságait és összehasonlítják területeiket. A könyv a Pitagorasz-tétellel zárul.
• BAN BEN könyv III figyelembe veszik a kör tulajdonságait, érintőit és akkordjait (ezeket a problémákat Khioszi Hippokratész vizsgálta a Kr.e. V. század második felében).

1739-ben a „Kezdetek” című könyvet lefordították oroszra. Ön előtt van a könyv első oldala.

• BAN BEN könyv IV- szabályos sokszögek. BAN BEN V. könyv adott a Cnidusi Eudoxus által alkotott mennyiségek összefüggéseinek általános elmélete; század második felében kialakult valós számelmélet prototípusának tekinthető. Az általános összefüggéselmélet a hasonlóság tanának (VI. könyv) és a kimerülés módszerének (VII. könyv) az alapja, amely szintén Eudoxusig nyúlik vissza. BAN BEN könyvek VII-IX bemutatjuk a számelmélet kezdeteit, a legnagyobb közös osztó keresési algoritmusa vagy az euklideszi algoritmus alapján. Ezek a könyvek magukban foglalják az oszthatóság elméletét, beleértve az egész szám prímtényezőkké történő faktorizálásának egyediségéről és a prímszámok számának végtelenségéről szóló tételeket; A racionális (pozitív) számok elméletéhez hasonlóan kifejti az egész számok arányának doktrínáját is. BAN BEN X. könyv megadjuk a másodfokú és bikvadratikus irracionalitások osztályozását, és alátámasztjuk az átalakulásukra vonatkozó néhány szabályt. A X. könyv eredményeit a XIII. könyvben használják a szabályos poliéderek élhosszának meghatározására. Lényeges rész könyv X. és XIII(valószínűleg VII) Theaetetushoz tartozik (Kr. e. 4. század eleje). BAN BEN könyv XI körvonalazódnak a sztereometria alapjai.
• BAN BEN könyv XII Kimerítési módszerrel meghatározzuk két kör területének arányát, valamint egy gúla és egy prizma, egy kúp és egy henger térfogatának arányát. Ezeket a tételeket először Eudoxus bizonyította be.
• Végül be könyv XIII meghatározzuk két golyó térfogatának arányát, öt szabályos poliédert szerkesztünk, és bebizonyítjuk, hogy nincs más szabályos test.
• A későbbi görög matematikusok hozzáadták Euklidész elemeit könyv XIV és XV, amely nem Eukleidészé volt. Gyakran még most is az „Elvek” főszövegével együtt teszik közzé őket. Ott figyelembe veszik a szegmenseket, és meghatározzák a rajtuk végzett aritmetikai műveleteket.

A legrégebbi papirusz töredéke diagramokkal Euklidész Geometria elemeiből

• A citadella (középkori erőd) ben épült XII század

Al-Mursi Abul Abbas mecsetben Alexandria .

Hurghada. Palace 1000 és 1 éjszaka. Alexandria

Alexandriai öböl

Előadás az önkormányzati oktatási intézmény "Rozhdestvenskaya Középiskola" geometria történetéről, amelyet egy 7. osztályos diák, tanár - Moteyunene S.V. 2012 Euclid and his "Principles" Önéletrajz Euclid or Euclid, (Kr. e. 300 körül) - ókori görög matematikus. A „Geometra” néven ismert Naukrates fia, a régi idők tudósa, származása szerint görög, lakóhelye szerint szír, eredetileg Tíruszból... Eukleidész idősebbnek kellene lennie, mint Arkhimédész, aki a „Keletre” hivatkozott. Korunkba eljutott az az információ, hogy I. Ptolemaiosz fővárosában, Alexandriában tanított, amely kezdett a tudományos élet egyik központjává válni. Eukleidész a tudományban Ami Eukleidész helyét a tudományban illeti, azt nem annyira saját tudományos kutatásai, mint inkább pedagógiai érdemei határozzák meg. Számos tételt és új bizonyítást tulajdonítanak Eukleidésznek, de jelentőségük nem hasonlítható össze a nagy görög geométerek vívmányaival: Thalész és Pythagoras (Kr. e. VI. század), Eudoxus és Theaetetus (Kr. e. IV. század). Eukleidész legnagyobb érdeme, hogy összefoglalta a geometria felépítését, és olyan tökéletes formát adott az előadásnak, hogy az „Elemek” 2000 évre a geometria enciklopédiájává vált. Az Euklidész elemei minden művet kiszorítottak, és több mint két évezredig a geometria alapvető tankönyve maradt. Euklidész tankönyve Tankönyvének megalkotásakor Eukleidész sok mindent belefoglalt abból, amit elődei alkottak, feldolgozva és összerakva ezt az anyagot. A kezdetek tizenhárom könyvből állnak. Az első és néhány további könyvet definíciók listája előzi meg. Az első könyvet posztulátumok és axiómák listája is megelőzi. A posztulátumok általában alapvető konstrukciókat határoznak meg (például „bármely két ponton keresztül egyenes vonalat kell húzni”), és axiómákat - általános következtetési szabályokat, amikor mennyiségekkel dolgozunk (például „ha két mennyiség van egyenlőek egyharmaddal, egyenlőek önök között"). Könyvek "Elemek" Eukleidész fő műve, Kr.e. 300 körül íródott. e. és a geometria szisztematikus felépítésének szentelték. Az „Elvek” az ókori geometria és általában az ókori matematika csúcsa, 300 éves fejlődésének eredménye és a későbbi kutatások alapja. A kötet 13 könyvből áll. Sajnos csak az első könyvről maradtak meg részletes információk. Az I. könyv tartalmának áttekintése. Az első könyv definíciókkal kezdődik, amelyek közül az első hét így szól: 1. Pont az, aminek nincsenek részei. 2. Vonal - hosszúság szélesség nélkül. 3. Az egyenes élei pontok. 4. Egy egyenes az, amelyik minden pontján egyformán fekszik. 5. A felület az, aminek csak hossza és szélessége van. 6. A felület élei vonalak. 7. Sík felület az, amelyik minden vonalán egyformán fekszik. A definíciókat követve Eukleidész posztulátumokat ad. 1. Bármely ponttól tetszőleges pontig húzhat egy egyenest. 2. Határozott vonal egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható. 3. Egy kör bármely középpontból bármilyen megoldással leírható. 4. Minden derékszög egyenlő egymással. 5. Ha egy két egyenest metsző egyenes két derékszögnél kisebb belső egyoldalú szögeket képez, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög. *a posztulátum bizonyíték nélkül elfogadott állítás. A posztulátumokat pedig axiómák követik. Azok, akik azonosak, egyenlők egymással. És ha egyenlőket egyenlőkhez adunk, akkor az egészek egyenlők lesznek. És ha az egyenlőket kivonjuk az egyenlőkből, akkor a maradékok egyenlők lesznek. (És ha egyenlőket adunk az egyenlőtlenekhez, akkor az egészek nem lesznek egyenlők.) (És ugyanannak a dolognak a kétszerese egyenlő egymással.) (És ugyanannak a dolognak a felei egyenlők egymással.) És a kettővel kombináltak egymás egyenlőek egymással. És az egész nagyobb, mint a rész. (És két egyenes nem tartalmaz szóközt.) A II – VI. könyvek tartalmi áttekintése. II. könyv - az úgynevezett „geometriai algebra” tételei. III. könyv - javaslatok a körökről, azok érintőiről és akkordjairól, a központi és beírt szögekről. IV. könyv - javaslatok a beírt és körülírt sokszögekre, a szabályos sokszögek felépítésére. Az V. könyv egy általános kapcsolatelmélet, amelyet Cnidus Eudoxus dolgozott ki. VI. könyv - a geometriai alakzatok hasonlóságának tana. Ez a könyv befejezi az euklideszi planimetriát a VII – XIII. könyvek tartalmának áttekintése. A VII–IX. könyvet a számelméletnek szentelik, és a pitagoreusokhoz nyúlnak vissza; a VIII. könyv szerzője Tarentum Archytas lehetett. Ezek a könyvek az arányokról és a geometriai progresszióról szóló tételeket tárgyalják, bevezetnek egy módszert két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására (ma Euklidész algoritmusként ismert), páros tökéletes számokat állítanak össze, és bizonyítják a prímszámok halmazának végtelenségét. X könyv – az Elemek legterjedelmesebb és legösszetettebb részét képviseli, az irracionalitások osztályozása megalkotása; lehetséges, hogy szerzője az athéni Theaetetus. XI. könyv - tartalmazza a sztereometria alapjait XII. könyv - a kimerítési módszerrel a körök területeinek, valamint a gúlák és kúpok térfogatának tételeit bizonyítják; E könyv szerzője általában Cnidus Eudoxusa. XIII. könyv - öt szabályos poliéder felépítésének szentelve; Úgy tartják, hogy az építmények egy részét az athéni Theaetetus fejlesztette ki. Tájékoztatás az „Elvek” összes könyvéről A hozzánk eljutott kéziratokban ehhez a tizenhárom könyvhöz további két könyv került. A XIV. könyv az alexandriai Hypsicleshez tartozik (i. e. 200 körül), a XV. könyv pedig Milétoszi Izidor, a Szent István-templom építőjének életében keletkezett. Sophia Konstantinápolyban (Kr. u. VI. század eleje). Az Elemek általános alapot adnak Arkhimédész, Apollonius és más ókori szerzők későbbi geometriai értekezéseihez; a bennük bizonyított állításokat általánosan ismertnek tekintjük. A modern tudomány létrejöttében és fejlődésében az Alapelvek is fontos ideológiai szerepet játszottak. Egy matematikai értekezés mintája maradt, szigorúan és szisztematikusan bemutatva egy adott matematikai tudomány főbb rendelkezéseit. Nem véletlenül keletkezett egy legenda, amely szerint a Platón Akadémia bejárata fölé a „Ne jöjjön be ide senki, aki nem ismeri a geometriát” felirat.