V této lekci si připomeneme všechny dříve studované metody faktorizace polynomu a zvážíme příklady jejich aplikace, kromě toho budeme studovat novou metodu - metodu plného čtverce a naučíme se, jak ji aplikovat při řešení různých problémů.

Téma:Faktorování polynomů

Lekce:Faktorizace polynomů. Metoda výběru plného čtverce. Kombinace metod

Připomeňte si hlavní metody faktorizace polynomu, které byly studovány dříve:

Metoda vyjmutí společného faktoru ze závorek, tedy faktoru, který je přítomen ve všech členech polynomu. Zvažte příklad:

Připomeňme, že jednočlen je součin mocnin a čísel. V našem příkladu mají oba členy některé společné, identické prvky.

Vyjmeme tedy společný faktor ze závorek:

;

Připomeňme, že vynásobením vykresleného násobitele závorkou můžete zkontrolovat správnost vykreslení.

seskupovací metoda. Není vždy možné vyjmout společný faktor v polynomu. V tomto případě musíte jeho členy rozdělit do skupin tak, že v každé skupině můžete vyjmout společný faktor a pokusit se jej rozdělit tak, aby se po vyjmutí faktorů ve skupinách objevil pro skupinu společný faktor. celý výraz a expanze by mohla pokračovat. Zvažte příklad:

Seskupte první termín se čtvrtým, druhý s pátým a třetí se šestým:

Vyberme společné faktory ve skupinách:

Výraz má společný faktor. Pojďme to vyndat:

Aplikace zkrácených vzorců násobení. Zvažte příklad:

;

Napišme výraz podrobně:

Je zřejmé, že máme před sebou vzorec pro druhou mocninu rozdílu, protože existuje součet druhých mocnin dvou výrazů a od toho se odečte jejich dvojitý součin. Pojďme podle vzorce:

Dnes se naučíme jiný způsob - metodu výběru plného čtverce. Vychází ze vzorců druhé mocniny součtu a druhé mocniny rozdílu. Připomeňte si je:

Vzorec pro druhou mocninu součtu (rozdílu);

Zvláštností těchto vzorců je, že obsahují druhé mocniny dvou výrazů a jejich dvojitý součin. Zvažte příklad:

Napíšeme výraz:

Takže první výraz je , a druhý .

Abychom vytvořili vzorec pro druhou mocninu součtu nebo rozdílu, nestačí dvojí součin výrazů. Je třeba sečíst a odečíst:

Shrňme celou druhou mocninu součtu:

Převedeme výsledný výraz:

Aplikujeme vzorec rozdílu čtverců, připomeňme, že rozdíl druhých mocnin dvou výrazů je součin a součty jejich rozdílem:

Tato metoda tedy spočívá především v tom, že je nutné identifikovat výrazy a a b, které jsou na druhou, tedy určit, které výrazy jsou v tomto příkladu odmocněny. Poté musíte zkontrolovat přítomnost dvojitého součinu a pokud tam není, pak jej přidat a odečíst, význam příkladu to nezmění, ale polynom lze rozložit pomocí vzorců pro druhou mocninu součet nebo rozdíl a rozdíl druhých mocnin, pokud je to možné.

Přejděme k řešení příkladů.

Příklad 1 – faktorizace:

Najděte výrazy na druhou:

Pojďme si napsat, jaký by měl být jejich dvojitý součin:

Pojďme sečíst a odečíst dvojitý součin:

Shrneme celou druhou mocninu součtu a dáme podobné:

Budeme psát podle vzorce rozdílu čtverců:

Příklad 2 - vyřešte rovnici:

;

Na levé straně rovnice je trojčlen. Musíte to vzít v úvahu. Použijeme vzorec druhé mocniny rozdílu:

Máme druhou mocninu prvního výrazu a dvojitý součin, druhá mocnina druhého výrazu chybí, sečteme a odečteme:

Sbalíme celý čtverec a dáme podobné podmínky:

Aplikujme vzorec pro rozdíl čtverců:

Takže máme rovnici

Víme, že součin je roven nule, pouze pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Na základě toho napíšeme rovnice:

Pojďme vyřešit první rovnici:

Pojďme vyřešit druhou rovnici:

Odpověď: nebo

;

Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu – vybereme druhou mocninu rozdílu.

Zvažte na konkrétních příkladech, jak faktorizovat polynom.

Budeme rozšiřovat polynomy v souladu s .

Faktorizace polynomů:

Zkontrolujte, zda existuje společný faktor. ano, rovná se 7 cd. Vyjmeme to z hranatých závorek:

Výraz v závorkách se skládá ze dvou pojmů. Již neexistuje společný činitel, výraz není vzorcem pro součet krychlí, což znamená, že rozklad je dokončen.

Zkontrolujte, zda existuje společný faktor. Ne. Polynom se skládá ze tří členů, takže zkontrolujeme, zda existuje úplný čtvercový vzorec. Dva členy jsou druhé mocniny výrazů: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², třetí člen je roven dvojnásobku součinu těchto výrazů: 2∙5x∙3y=30xy. Takže tento polynom je dokonalý čtverec. Protože dvojitý součin je se znaménkem mínus, je to:

Zkontrolujeme, zda je možné vyjmout společný faktor ze závorek. Existuje společný faktor, rovná se a. Vyjmeme to z hranatých závorek:

V závorkách jsou dva termíny. Zkontrolujeme, zda existuje vzorec pro rozdíl čtverců nebo rozdílu kostek. a² je druhá mocnina a, 1=1². Takže výraz v závorkách lze zapsat podle vzorce rozdílu čtverců:

Existuje společný faktor, rovná se 5. Vyjmeme ho ze závorek:

v závorce jsou tři pojmy. Zkontrolujte, zda je výraz dokonalý čtverec. Dva členy jsou druhé mocniny: 16=4² a a² je druhá mocnina a, třetí člen je roven dvojnásobku součinu 4 a a: 2∙4∙a=8a. Proto je to perfektní čtverec. Protože všechny termíny jsou se znaménkem „+“, výraz v závorkách je celá druhá mocnina součtu:

Společný faktor -2x je vyjmut ze závorek:

V závorce je uveden součet dvou pojmů. Zkontrolujeme, zda je daný výraz součtem kostek. 64=4³, x³-krychle x. Takže binom může být rozšířen podle vzorce:

Existuje společný faktor. Ale protože se polynom skládá ze 4 členů, nejprve a teprve potom vyjmeme ze závorek společný faktor. Seskupujeme první termín se čtvrtým, ve druhém - se třetím:

Z prvních závorek vyjmeme společný faktor 4a, z druhé - 8b:

Společný násobitel zatím neexistuje. Abychom to získali, z druhých závorek vyjmeme závorky „-“, přičemž každý znak v závorce se změní na opačný:

Nyní vyjmeme společný faktor (1-3a) ze závorek:

V druhých závorkách je společný faktor 4 (jedná se o stejný faktor, který jsme nevyjmuli ze závorek na začátku příkladu):

Protože se polynom skládá ze čtyř členů, provedeme seskupení. První člen seskupujeme s druhým, třetí se čtvrtým:

V prvních závorkách není společný faktor, ale existuje vzorec pro rozdíl druhých mocnin, ve druhých závorkách je společný faktor -5:

Objevil se společný faktor (4m-3n). Vyjmeme to ze závorek.

Toto je jeden z nejzákladnějších způsobů, jak zjednodušit výraz. Pro aplikaci této metody si připomeňme distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání (těchto slov se nebojte, tento zákon určitě znáte, jen jste možná zapomněli jeho název).

Zákon říká: abyste součet dvou čísel vynásobili třetím číslem, musíte vynásobit každý výraz tímto číslem a sečíst výsledky, jinými slovy,.

Můžete také provést zpětnou operaci a právě tato zpětná operace nás zajímá. Jak je vidět ze vzorku, společný faktor a, lze vyjmout ze závorky.

Podobnou operaci lze provést jak s proměnnými, jako například a, tak s čísly: .

Ano, toto je příliš elementární příklad, stejně jako příklad uvedený dříve, s rozšířením čísla, protože každý ví, co jsou čísla a jsou dělitelná, ale co kdybyste dostali složitější výraz:

Jak zjistit, na co se například číslo dělí, ne, s kalkulačkou to může každý, ale bez ní je to slabé? A k tomu existují znaky dělitelnosti, tyto znaky opravdu stojí za to znát, pomohou vám rychle pochopit, zda je možné vyjmout společný faktor ze závorky.

Známky dělitelnosti

Není tak těžké si je zapamatovat, s největší pravděpodobností vám většina z nich byla již známá a něco bude novým užitečným objevem, více podrobností v tabulce:

Poznámka: V tabulce chybí znaménko dělitelnosti 4. Pokud jsou poslední dvě číslice dělitelné 4, pak je celé číslo dělitelné 4.

No, jak se vám líbí znamení? Radím vám, abyste si to zapamatovali!

No, vraťme se k výrazu, možná ho vyndejte ze závorky a stačí to? Ne, je zvykem, že matematici zjednodušují, takže naplno, vyndejte VŠECHNO, co je vyjmuto!

U hráče je tedy vše jasné, ale co číselná část výrazu? Obě čísla jsou lichá, takže je nelze dělit

Můžete použít znaménko dělitelnosti, součet číslic a, ze kterých se číslo skládá, je rovno a je dělitelné, což znamená, že je dělitelné.

S vědomím toho můžete bezpečně rozdělit do sloupce, jako výsledek dělení dostaneme (známky dělitelnosti se hodily!). Můžeme tedy vyjmout číslo ze závorky, stejně jako y, a ve výsledku máme:

Abyste se ujistili, že je vše správně rozloženo, můžete zkontrolovat expanzi násobením!

Společný faktor lze také vyjmout z mocninných výrazů. Vidíte zde například společný faktor?

Všechny členy tohoto výrazu mají x - vyjmeme, všechny vydělíme - znovu vyjmeme, podíváme se, co se stalo: .

2. Zkrácené vzorce násobení

Vzorce pro zkrácené násobení už byly teoreticky zmíněny, pokud si jen stěží vzpomenete, co to je, pak byste si je měli osvěžit v paměti.

No, pokud se považujete za velmi chytrého a jste líní číst takový oblak informací, pak jen čtěte dál, podívejte se na vzorce a hned si vezměte příklady.

Podstatou tohoto rozkladu je všimnout si nějakého určitého vzorce ve výrazu před vámi, použít jej a získat tak součin něčeho a něčeho, to je celý rozklad. Níže jsou uvedeny vzorce:

Nyní zkuste faktorizovat následující výrazy pomocí výše uvedených vzorců:

A tady je to, co se mělo stát:

Jak jste si všimli, tyto vzorce jsou velmi efektivním způsobem faktoringu, není to vždy vhodné, ale může být velmi užitečné!

3. Seskupování nebo metoda seskupování

Zde je další příklad pro vás:

No, co s tím budeš dělat? Zdá se, že je dělitelná něčím a na něco a něco do a do

Ale nelze vše rozdělit do jedné věci, no neexistuje žádný společný faktor, jak nehledat co, a nechat to bez faktoringu?

Zde je třeba ukázat vynalézavost a název této vynalézavosti je seskupení!

Používá se právě tehdy, když nemají všichni členové společné dělitele. Pro seskupení potřebujete najít skupiny termínů, které mají společné dělitele a přeskupte je tak, aby bylo možné z každé skupiny získat stejný multiplikátor.

Samozřejmě není nutné místy přeskupovat, ale dává to viditelnost, pro přehlednost můžete jednotlivé části výrazu vzít do závorek, není zakázáno je dávat, jak chcete, hlavní je ne zmást znamení.

To vše není příliš jasné? Dovolte mi to vysvětlit na příkladu:

V polynomu - vložte člen - za člen - dostaneme

seskupíme první dva výrazy do samostatné závorky a stejným způsobem seskupíme třetí a čtvrtý výraz, přičemž znaménko mínus ze závorky ponecháme, dostaneme:

A nyní se podíváme odděleně na každou ze dvou „hromad“, do kterých jsme rozbili výraz se závorkami.

Trik je rozbít to na takové hromádky, ze kterých bude možné vyjmout největší možný faktor, nebo se jako v tomto příkladu pokusit seskupit členy tak, aby po vyjmutí faktorů ze závorek z hromád mít stejné výrazy v závorkách.

Z obou závorek vyjmeme společné faktory členů, z první závorky a z druhé závorky, dostaneme:

Ale to není rozklad!

Posel rozklad by měl zůstat pouze násobením, ale prozatím máme polynom jednoduše rozdělený na dvě části ...

ALE! Tento polynom má společný faktor. to

mimo držák a dostaneme konečný produkt

Bingo! Jak vidíte, součin již existuje a mimo závorky není sčítání ani odčítání, rozklad je dokončen, protože už nemáme co vyndavat ze závorek.

Může se zdát jako zázrak, že po vyjmutí činitelů ze závorek máme v závorkách stále stejné výrazy, které jsme opět vyjmuli ze závorek.

A není to vůbec žádný zázrak, faktem je, že příklady v učebnicích i ve zkoušce jsou speciálně udělané tak, že většina výrazů v úlohách pro zjednodušení resp. faktorizace se správným přístupem k nim se snadno zjednoduší a po stisknutí tlačítka se náhle složí jako deštník, takže v každém výrazu hledejte právě to tlačítko.

Něco jsem odbočil, co tam máme se zjednodušením? Složitý polynom nabyl jednodušší podoby: .

Souhlasíte, není to tak objemné, jak bývalo?

4. Výběr plného čtverce.

Někdy, aby bylo možné použít vzorce pro zkrácené násobení (opakování tématu), je nutné transformovat existující polynom tak, že jeden z jeho členů představíme jako součet nebo rozdíl dvou členů.

V takovém případě to musíte udělat, dozvíte se z příkladu:

Polynom v tomto tvaru nelze rozložit pomocí zkrácených vzorců pro násobení, proto je nutné jej převést. Možná vám zprvu nebude jasné, do kterého termínu dělit, ale postupem času se naučíte ihned vidět vzorce zkráceného násobení, i když nejsou přítomny celé, a rychle zjistíte, co zde chybí na plný vzorec, ale zatím - učit se , student, přesněji školák.

Pro úplný vzorec druhé mocniny rozdílu zde potřebujete místo toho. Reprezentujme třetí člen jako rozdíl, dostaneme: Na výraz v závorkách můžeme aplikovat vzorec rozdílového čtverce (neplést s rozdílem čtverců!!!), máme: , na tento výraz můžeme použít vzorec pro rozdíl druhých mocnin (neplést s druhou mocninou rozdílu!!!), když si představíme jak, dostaneme: .

Výraz, který není vždy započítán do faktorů, vypadá jednodušeji a menší, než byl před rozkladem, ale v této podobě se stává mobilnějším v tom smyslu, že se nemusíte starat o změnu znamének a další matematické nesmysly. Abyste se mohli rozhodnout sami, je třeba vzít v úvahu následující výrazy.

Příklady:

Odpovědi:

5. Faktorizace čtvercového trinomu

Pro rozklad čtvercového trinomu viz níže v příkladech rozkladu.

Příklady 5 metod pro faktorizaci polynomu

1. Vyjmutí společného činitele ze závorek. Příklady.

Pamatujete si, co je to zákon o distribuci? Toto je takové pravidlo:

Příklad:

Rozložte polynom na faktor.

Řešení:

Další příklad:

Násobit.

Řešení:

Pokud je celý výraz vyjmut ze závorky, jeden zůstane v závorce místo něj!

2. Vzorce pro zkrácené násobení. Příklady.

Nejčastěji používané vzorce jsou rozdíl druhých mocnin, rozdíl krychlí a součet krychlí. Pamatujete si tyto vzorce? Pokud ne, naléhavě téma zopakujte!

Příklad:

Zohledněte výraz.

Řešení:

V tomto výrazu je snadné zjistit rozdíl kostek:

Příklad:

Řešení:

3. Metoda seskupování. Příklady

Někdy je možné zaměnit členy takovým způsobem, že z každé dvojice sousedních členů lze extrahovat jeden a tentýž faktor. Tento společný faktor lze vyjmout ze závorky a původní polynom se změní na součin.

Příklad:

Vylož polynom.

Řešení:

Seskupujeme termíny následovně:
.

V první skupině vyjmeme společný faktor ze závorek a ve druhé - :
.

Nyní lze společný faktor také vyjmout ze závorek:
.

4. Metoda výběru plného čtverce. Příklady.

Pokud lze polynom znázornit jako rozdíl druhých mocnin dvou výrazů, nezbývá než použít zkrácený násobící vzorec (rozdíl druhých mocnin).

Příklad:

Vylož polynom.

Řešení:Příklad:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\pod závorkou(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(čtverec\ součty\ ((\left (x+3 \vpravo))^(2)))-9-7=((\vlevo(x+3 \vpravo))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(pole)

Vylož polynom.

Řešení:

\begin(pole)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(čtverec\ rozdíly((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \vpravo))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(pole)

5. Faktorizace čtvercového trinomu. Příklad.

Čtvercová trojčlenka je polynom ve tvaru, kde je neznámá, jsou navíc nějaká čísla.

Proměnné hodnoty, které otočí čtvercový trinom na nulu, se nazývají kořeny trinomu. Proto jsou kořeny trojčlenu kořeny kvadratické rovnice.

Teorém.

Příklad:

Rozložme čtvercový trojčlen na faktor: .

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Nyní můžeme zapsat rozklad tohoto čtvercového trinomu na faktory:

Nyní váš názor...

Podrobně jsme popsali, jak a proč faktorizovat polynom.

Uvedli jsme spoustu příkladů, jak na to v praxi, poukázali na úskalí, dali řešení ...

Co říkáš?

Jak se vám líbí tento článek? Používáte tyto triky? Chápete jejich podstatu?

Napište do komentářů a... připravte se na zkoušku!

Zatím je to to nejdůležitější ve vašem životě.

Pojmy „polynom“ a „faktorizace polynomu“ v algebře jsou velmi běžné, protože je musíte znát, abyste mohli snadno provádět výpočty s velkými vícehodnotovými čísly. Tento článek popisuje několik metod rozkladu. Všechny jsou velmi jednoduché na používání, stačí si v každém případě vybrat ten správný.

Pojem polynom

Polynom je součet monočlenů, tedy výrazů obsahujících pouze operaci násobení.

Například 2 * x * y je monočlen, ale 2 * x * y + 25 je polynom, který se skládá ze 2 monomiů: 2 * x * y a 25. Takové polynomy se nazývají binomy.

Někdy se pro usnadnění řešení příkladů s vícehodnotovými hodnotami musí výraz transformovat, například rozložit na určitý počet faktorů, tedy čísel nebo výrazů, mezi kterými se provádí operace násobení. Existuje několik způsobů, jak faktorizovat polynom. Stojí za to zvážit je od těch nejprimitivnějších, které se používají i v primárních třídách.

Seskupení (obecný záznam)

Vzorec pro rozklad polynomu na faktory metodou seskupení v obecný pohled vypadá takto:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Je nutné seskupit monočleny tak, aby se v každé skupině objevil společný faktor. V první závorce je to faktor c a ve druhé - d. To se musí udělat, aby se pak vyjmulo z držáku, čímž se zjednoduší výpočty.

Dekompoziční algoritmus na konkrétním příkladu

Nejjednodušší příklad rozkladu polynomu na faktory pomocí seskupovací metody je uveden níže:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

V první závorce musíte vzít termíny s faktorem a, který bude společný, a ve druhé - s faktorem b. Dávejte pozor na znaménka + a - v hotovém výrazu. Před jednočlen dáme znaménko, které bylo v počátečním výrazu. To znamená, že musíte pracovat nikoli s výrazem 25a, ale s výrazem -25. Znaménko minus je jakoby „přilepeno“ k výrazu za ním a vždy ho zohledněte ve výpočtech.

V dalším kroku musíte z držáku vyjmout faktor, který je běžný. K tomu slouží seskupování. Vyjmout ze závorky znamená vypsat před závorku (vynechat znaménko násobení) všechny ty faktory, které se přesně opakují ve všech členech, které jsou v závorce. Pokud v závorce nejsou 2, ale 3 nebo více členů, musí být společný faktor obsažen v každém z nich, jinak jej nelze ze závorky vyjmout.

V našem případě pouze 2 výrazy v závorkách. Celkový multiplikátor je okamžitě viditelný. První závorka je a, druhá je b. Zde je třeba věnovat pozornost digitálním koeficientům. V první závorce jsou oba koeficienty (10 a 25) násobky 5. To znamená, že lze uzavřít nejen a, ale i 5a. Před závorku napište 5a a poté vydělte každý z členů v závorce společným faktorem, který byl vyjmut, a také zapište podíl v závorce, nezapomeňte na znaménka + a -. Totéž udělejte s druhou závorkou , vyjměte 7b, protože 14 a 35 násobek 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ukázalo se, že 2 termíny: 5a (2c - 5) a 7b (2c - 5). Každý z nich obsahuje společný činitel (celý výraz v závorkách je zde stejný, což znamená, že se jedná o společný činitel): 2c - 5. Dále je třeba jej vyjmout ze závorky, tedy výrazy 5a a 7b zůstat ve druhé závorce:

5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)* (5a + 7b).

Takže celý výraz je:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Polynom 10ac + 14bc - 25a - 35b se tedy rozloží na 2 faktory: (2c - 5) a (5a + 7b). Znaménko násobení mezi nimi lze při psaní vynechat

Někdy existují výrazy tohoto typu: 5a 2 + 50a 3, zde můžete závorku nejen a nebo 5a, ale dokonce i 5a 2. Vždy byste se měli snažit vyjmout ze závorky co největší společný faktor. Pokud v našem případě vydělíme každý termín společným faktorem, dostaneme:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(při výpočtu podílu několika mocnin se stejnými základy se zachová základ a exponent se odečte). V závorce tedy zůstane jeden (v žádném případě nezapomeň jeden napsat, pokud jeden z členů ze závorky úplně vyjmeš) a podíl dělení: 10a. Ukázalo se, že:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Čtvercové vzorce

Pro usnadnění výpočtů bylo odvozeno několik vzorců. Říká se jim redukované vzorce násobení a používají se poměrně často. Tyto vzorce pomáhají faktorizovat polynomy obsahující mocniny. Toto je další účinný způsob faktorizace. Takže tady jsou:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - vzorec, nazývaný "čtverec součtu", protože v důsledku rozšíření na čtverec se vezme součet čísel uzavřených v závorkách, to znamená, že hodnota tohoto součtu se sama násobí dvakrát, což znamená, že je to faktor.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - vzorec druhé mocniny rozdílu, je podobný předchozímu. Výsledkem je rozdíl uzavřený v závorkách, obsažený ve čtvercové mocnině.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- toto je vzorec pro rozdíl druhých mocnin, protože zpočátku se polynom skládá ze 2 čtverců čísel nebo výrazů, mezi kterými se provádí odčítání. Je možná nejpoužívanější ze všech tří.

Příklady pro výpočet podle vzorců čtverců

Výpočty na nich se provádějí poměrně jednoduše. Například:

1. 25x2 + 20xy + 4 roky 2 - použijte vzorec "druhá ze součtu".
2. 25x 2 je čtverec 5x. 20xy je dvojnásobek součinu 2*(5x*2y) a 4y 2 je druhá mocnina 2y.
3. Takže 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Tento polynom je rozložen na 2 faktory (faktory jsou stejné, proto se zapisuje jako výraz s druhou mocninou).

Operace podle vzorce druhé mocniny rozdílu se provádějí podobně jako tyto. Co zůstává, je rozdíl ve vzorcích čtverců. Příklady tohoto vzorce lze velmi snadno identifikovat a najít mezi ostatními výrazy. Například:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Od 25a 2 \u003d (5a) 2 a 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25 let 2 \u003d (6x - 5 let) (6x + 5 let). Od 36x 2 \u003d (6x) 2 a 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Protože 169b 2 = (13b) 2

Je důležité, aby každý z členů byl druhou mocninou nějakého výrazu. Pak se tento polynom vynásobí vzorcem rozdílu čtverců. K tomu není nutné, aby druhá mocnina byla nad číslem. Existují polynomy obsahující velké mocniny, ale přesto vhodné pro tyto vzorce.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

V tomto příkladu může být 8 reprezentována jako (a 4) 2 , tedy druhá mocnina určitého výrazu. 25 je 5 2 a 10a je 4 - toto je dvojitý součin výrazů 2*a 4 *5. To znamená, že tento výraz, navzdory přítomnosti stupňů s velkými exponenty, lze rozložit na 2 faktory, abyste s nimi mohli později pracovat.

Vzorce krychle

Stejné vzorce existují pro faktorizaci polynomů obsahujících krychle. Jsou o něco složitější než ty se čtverci:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- tento vzorec se nazývá součet krychlí, protože ve svém počátečním tvaru je polynom součtem dvou výrazů nebo čísel uzavřených v krychli.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - vzorec shodný s předchozím se označí jako rozdíl kostek.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - součtová krychle, v důsledku výpočtů se získá součet čísel nebo výrazů, uzavřených v závorkách a vynásobených sebou 3krát, to znamená umístěných v krychli
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - vzorec, sestavený analogicky s předchozím se změnou pouze některých znamének matematických operací (plus a minus), se nazývá "diferenční kostka".

Poslední dva vzorce se pro účely faktorizace polynomu prakticky nepoužívají, protože jsou složité a je poměrně vzácné najít polynomy, které zcela odpovídají právě takové struktuře, aby je bylo možné rozložit podle těchto vzorců. Stále je však musíte znát, protože budou vyžadovány pro akce v opačném směru - při otevírání závorek.

Příklady vzorců krychle

Zvažte příklad: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Vzali jsme zde poměrně prvočísla, takže můžete okamžitě vidět, že 64a 3 je (4a) 3 a 8b 3 je (2b) 3 . Tento polynom je tedy rozšířen o vzorec rozdílu kostek na 2 faktory. Akce na vzorci součtu kostek se provádějí analogicky.

Je důležité pochopit, že ne všechny polynomy lze rozložit alespoň jedním ze způsobů. Existují ale takové výrazy, které obsahují větší mocniny než čtverec nebo krychle, ale lze je také rozšířit do zkrácených tvarů násobení. Například: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25 y 2).

Tento příklad obsahuje až 12 stupňů. Ale i to může být faktorizováno pomocí vzorce součtu kostek. K tomu je potřeba reprezentovat x 12 jako (x 4) 3, tedy jako krychli nějakého výrazu. Nyní jej místo a musíte ve vzorci nahradit. No, výraz 125y 3 je krychle 5y. Dalším krokem je napsat vzorec a provést výpočty.

Zpočátku nebo v případě pochybností můžete vždy zkontrolovat inverzním násobením. Ve výsledném výrazu stačí otevřít závorky a provést akce s podobnými výrazy. Tato metoda platí pro všechny výše uvedené způsoby redukce: jak pro práci se společným činitelem a seskupením, tak pro operace se vzorci krychlí a druhých mocnin.

Je uvedeno 8 příkladů faktorizace polynomů. Zahrnují příklady řešení kvadratických a bikvadratických rovnic, příklady rekurzivních polynomů a příklady hledání celých kořenů polynomů třetího a čtvrtého stupně.

Obsah

Viz také: Metody faktorizace polynomů
Kořeny kvadratické rovnice
Řešení kubických rovnic

1. Příklady s řešením kvadratické rovnice

Příklad 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Vyjměte x 2 pro závorky:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Kořeny rovnic:
, .

.

Příklad 1.2

Rozložení polynomu třetího stupně:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Vyjmeme x ze závorek:
.
Řešíme kvadratickou rovnici x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminační je .
Protože diskriminant je roven nule, kořeny rovnice jsou násobky: ;
.

Odtud získáme rozklad polynomu na faktory:
.

Příklad 1.3

Rozložení polynomu pátého stupně:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.

Vyjměte x 3 pro závorky:
.
Řešíme kvadratickou rovnici x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminační je .
Protože diskriminant je menší než nula, kořeny rovnice jsou složité: ;
, .

Faktorizace polynomu má tvar:
.

Pokud nás zajímá faktoring s reálnými koeficienty, pak:
.

Příklady faktorizace polynomů pomocí vzorců

Příklady s bikvadratickými polynomy

Příklad 2.1

Rozložte bikvadratický polynom na faktor:
X 4 + x 2 - 20.

Použijte vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Příklad 2.2

Rozložení polynomu, který se redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.

Použijte vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Příklad 2.3 s rekurzivním polynomem

Faktorizace rekurzivního polynomu:
.

Rekurzivní polynom má lichý stupeň. Proto má kořen x = - 1 . Polynom dělíme x - (-1) = x + 1. V důsledku toho získáme:
.
Provádíme substituci:
, ;
;


;
.

Příklady faktorování polynomů s celočíselnými kořeny

Příklad 3.1

Rozložení polynomu:
.

Předpokládejme rovnici

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Našli jsme tedy tři kořeny:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Protože původní polynom je třetího stupně, nemá více než tři kořeny. Protože jsme našli tři kořeny, jsou jednoduché. Pak
.

Příklad 3.2

Rozložení polynomu:
.

Předpokládejme rovnici

má alespoň jeden kořen celého čísla. Pak je to dělitel čísla 2 (člen bez x ). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel:
-2, -1, 1, 2 .
Nahraďte tyto hodnoty jednu po druhé:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Takže jsme našli jeden kořen:
X 1 = -1 .
Polynom dělíme x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Pak,
.

Nyní musíme vyřešit rovnici třetího stupně:
.
Pokud předpokládáme, že tato rovnice má celočíselný kořen, pak je to dělitel čísla 2 (člen bez x ). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel:
1, 2, -1, -2 .
Nahraďte x = -1 :
.

Takže jsme našli další kořen x 2 = -1 . Bylo by možné, stejně jako v předchozím případě, dělit polynom , ale seskupíme členy:
.