삼각법은 무엇을 합니까? 삼각법

사인, 코사인, 탄젠트 - 고등학생 앞에서 이 단어를 발음하면 그 중 2/3가 추가 대화에 관심을 잃을 것이라고 확신할 수 있습니다. 그 이유는 학교에서 삼각법의 기초를 현실과 완전히 분리하여 가르치기 때문에 학생들은 공식과 정리를 공부할 때 요점을 보지 못하기 때문입니다.

실제로 면밀히 조사해 보면 이 지식 영역은 매우 흥미롭고 적용되는 것으로 나타났습니다. 삼각법은 천문학, 건설, 물리학, 음악 및 기타 여러 분야에서 사용됩니다.

기본 개념에 대해 알아보고 이 수학 과학 분야를 연구해야 하는 몇 가지 이유를 살펴보겠습니다.

이야기

인류가 미래의 삼각법을 처음부터 창조하기 시작한 시점은 알려져 있지 않습니다. 그러나 이미 기원전 2천년에 이집트인들은 이 과학의 기초에 대해 잘 알고 있었다고 기록되어 있습니다. 고고학자들은 알려진 양면에서 피라미드의 경사각을 찾는 데 필요한 작업으로 파피루스를 발견했습니다.

고대 바빌론의 과학자들은 더욱 심각한 성공을 거두었습니다. 수세기에 걸쳐 천문학을 연구하면서 그들은 여러 정리를 숙달하고 각도를 측정하는 특별한 방법을 도입했습니다. 그런데 오늘날 우리가 사용하는 방법은 그리스-로마 문화의 유럽 과학에서 도, 분, 초를 빌려온 것입니다. 이 부대는 바빌로니아에서 왔습니다.

삼각법의 기초와 관련된 유명한 피타고라스의 정리는 거의 4000년 전에 바빌로니아 사람들에게 알려졌던 것으로 추정됩니다.

이름

문자 그대로 "삼각법"이라는 용어는 "삼각형 측정"으로 번역될 수 있습니다. 수세기 동안 이 과학 분야에서 연구의 주요 대상은 직각 삼각형, 더 정확하게는 각도의 크기와 변의 길이 사이의 관계였습니다(오늘날 삼각법에 대한 연구는 처음부터 이 섹션에서 시작됩니다). . 물체에 필요한 모든 매개변수(또는 물체까지의 거리)를 측정하는 것이 사실상 불가능하고 계산을 통해 누락된 데이터를 얻어야 하는 상황이 종종 있습니다.

예를 들어, 과거에는 사람들이 우주 물체까지의 거리를 측정할 수 없었지만 이러한 거리를 계산하려는 시도는 우리 시대가 도래하기 오래 전에 이루어졌습니다. 삼각법은 항해에서도 중요한 역할을 했습니다. 약간의 지식만 있으면 선장은 항상 밤에 별을 보고 항로를 조정할 수 있었습니다.

기본 개념

처음부터 삼각법을 익히려면 몇 가지 기본 용어를 이해하고 기억해야 합니다.

특정 각도의 사인은 대변과 빗변의 비율입니다. 반대쪽 다리는 우리가 고려하고 있는 각도 반대편에 누워 있는 쪽임을 명확히 합시다. 따라서 각도가 30도이면 삼각형의 크기에 관계없이 이 각도의 사인은 항상 ½과 같습니다. 각도의 코사인은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다.

탄젠트는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율(또는 사인과 코사인의 비율)입니다. 코탄젠트는 탄젠트로 나눈 단위입니다.

반지름이 1단위인 원 길이의 절반인 유명한 숫자 Pi(3.14...)를 언급할 가치가 있습니다.

"sine"이라는 단어의 어원학

"사인"이라는 단어의 역사는 참으로 특이합니다. 사실 이 단어를 라틴어로 문자 그대로 번역하면 "공허함"을 의미합니다. 이는 한 언어에서 다른 언어로 번역하는 동안 단어에 대한 올바른 이해가 상실되었기 때문입니다.

기본 삼각 함수의 이름은 사인의 개념이 산스크리트어로 "끈"이라는 단어로 표시되는 인도에서 유래되었습니다. 사실 세그먼트는 그것이 놓인 원호와 함께 활처럼 보였습니다. . 아랍 문명의 전성기에는 삼각법 분야에서 인도의 업적을 차용하여 이 용어를 아랍어로 옮겨 적었습니다. 이 언어에는 이미 우울증을 나타내는 비슷한 단어가 있었고 아랍인들이 모국어와 차용어의 음성 차이를 이해했다면 유럽인들은 과학 논문을 라틴어로 번역하여 실수로 문자 그대로 아랍어 단어를 번역했습니다. 사인의 개념과 관련이 있습니다. 우리는 오늘날까지도 그것을 사용하고 있습니다.

값 테이블

가능한 모든 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트에 대한 숫자 값이 포함된 테이블이 있습니다. 아래에는 "인형"에 대한 삼각법의 필수 섹션으로 학습해야 하는 0, 30, 45, 60 및 90도 각도에 대한 데이터가 나와 있습니다. 다행히도 기억하기 매우 쉽습니다.

각도의 사인 또는 코사인 수치가 "머리에서 나왔다"면 직접 파생시킬 수 있는 방법이 있습니다.

기하학적 표현

원을 그리고 그 중심을 지나 가로좌표축과 세로축을 그려보겠습니다. 가로축은 가로, 세로축은 세로입니다. 일반적으로 각각 "X"와 "Y"로 부호가 지정됩니다. 이제 원의 중심에서 직선을 그려 원과 X축 사이에 필요한 각도를 얻습니다. 마지막으로 직선이 원과 교차하는 지점에서 X 축에 수직을 떨어 뜨립니다. 결과 세그먼트의 길이는 각도의 사인 수치와 같습니다.

이 방법은 예를 들어 시험 중에 필요한 값을 잊어버렸고 삼각법 교과서가 없는 경우 매우 적합합니다. 이 방법으로 정확한 숫자를 얻을 수는 없지만 ½과 1.73/2(30도 각도의 사인 및 코사인) 사이의 차이를 확실히 볼 수 있습니다.

애플리케이션

삼각법을 사용한 최초의 전문가 중 일부는 공해에서 머리 위의 하늘 외에는 다른 기준점이 없는 선원이었습니다. 오늘날 선박(비행기 및 기타 운송 수단)의 선장은 별을 사용하여 최단 경로를 찾지 않고 적극적으로 GPS 내비게이션에 의존합니다. 이는 삼각법을 사용하지 않으면 불가능합니다.

물리학의 거의 모든 섹션에서 사인과 코사인을 사용한 계산을 찾을 수 있습니다. 역학의 힘 적용, 운동학의 물체 경로 계산, 진동, 파동 전파, 빛의 굴절 등 기본 삼각법 없이는 할 수 없습니다. 공식에서.

삼각법 없이는 상상할 수 없는 또 다른 직업은 측량사입니다. 경위의 사람과 레벨 또는 더 복잡한 장치인 타코미터를 사용하여 이 사람들은 지구 표면의 여러 지점 사이의 높이 차이를 측정합니다.

반복성

삼각법은 삼각형의 각도와 변뿐만 아니라 삼각형의 존재가 시작된 곳이기도 합니다. 순환성이 존재하는 모든 영역(생물학, 의학, 물리학, 음악 등)에서 이름이 친숙한 그래프를 보게 될 것입니다. 이것은 사인파입니다.

이러한 그래프는 시간축을 따라 펼쳐진 원으로, 마치 파동처럼 보입니다. 물리학 수업에서 오실로스코프를 사용해 본 적이 있다면 우리가 무슨 말을 하는지 아실 것입니다. 음악 이퀄라이저와 심박수 모니터 모두 작업에 삼각법 공식을 사용합니다.

마지막으로

삼각법을 배우는 방법을 생각할 때, 대부분의 중고등학생들은 교과서에서 나오는 지루한 정보만 접하기 때문에 삼각법을 어렵고 비실용적인 과학이라고 생각하기 시작합니다.

비실용성에 관해서는 사인과 탄젠트를 처리하는 능력이 거의 모든 활동 분야에서 어느 정도 필요하다는 것을 이미 살펴보았습니다. 복잡성에 관해서는... 생각해보세요. 성인이 오늘날 고등학생보다 지식이 적었던 2000여 년 전에 사람들이 이 지식을 사용했다면 개인적으로 이 과학 분야를 기본 수준에서 공부하는 것이 현실적입니까? 몇 시간 동안 문제 해결을 위한 사려 깊은 연습을 하면 소위 인형을 위한 삼각법이라는 기본 과정을 공부하여 목표를 달성할 수 있습니다.

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이 강의에서는 삼각함수를 도입해야 할 필요성이 어떻게 발생하는지, 삼각함수를 연구하는 이유, 이 주제에서 이해해야 할 사항, 더 잘해야 할 부분(기술이란 무엇인지)에 대해 이야기합니다. 기술과 이해는 서로 다른 두 가지라는 점에 유의하십시오. 차이점이 있습니다. 자전거 타는 법을 배우는 것, 즉 자전거 타는 방법을 이해하는 것, 아니면 전문 자전거 운전자가 되는 것입니다. 삼각 함수가 필요한 이유에 대한 이해에 대해 구체적으로 이야기하겠습니다.

4개의 삼각 함수가 있지만 모두 항등식(이 둘을 연관시키는 등식)을 사용하여 하나로 표현될 수 있습니다.

직각 삼각형의 예각에 대한 삼각 함수의 공식적인 정의(그림 1).

공동직각 삼각형의 예각은 대변과 빗변의 비율입니다.

코사인직각 삼각형의 예각은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다.

접선직각 삼각형의 예각은 반대쪽 변과 인접한 변의 비율입니다.

코탄젠트직각 삼각형의 예각은 인접한 변과 반대편의 비율입니다.

쌀. 1. 직각 삼각형의 예각의 삼각 함수 결정

이러한 정의는 형식적입니다. 예를 들어 사인과 같은 함수가 하나만 있다고 말하는 것이 더 정확합니다. 기술에 그다지 필요하지 않은 경우(자주 사용되지 않은 경우) 다양한 삼각 함수가 도입되지 않았을 것입니다.

예를 들어, 각도의 코사인은 ()를 추가한 동일한 각도의 사인과 같습니다. 또한, 한 각도의 코사인은 기본 삼각 항등식()을 이용하여 항상 같은 각도의 사인을 부호까지 표현할 수 있습니다. 각도의 탄젠트는 사인 대 코사인의 비율 또는 역코탄젠트입니다(그림 2). 일부는 코탄젠트를 전혀 사용하지 않고 . 그러므로 하나의 삼각함수를 이해하고 활용하는 것이 중요합니다.

쌀. 2. 다양한 삼각함수 간의 관계

그런데 왜 그런 기능이 필요했을까요? 어떤 실제적인 문제를 해결하는 데 사용됩니까? 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

두 사람 ( ㅏ그리고 안에) 차를 웅덩이 밖으로 밀어냅니다(그림 3). 인간 안에차를 옆으로 밀 수는 있지만 도움이 될 것 같지 않습니다. ㅏ. 반면에 그의 노력의 방향은 점차 바뀔 수 있습니다(그림 4).

쌀. 삼. 안에차를 옆으로 밀다

쌀. 4. 안에노력의 방향을 바꾸기 시작한다

그들의 노력은 자동차를 한 방향으로 밀 때 가장 효과적이라는 것이 분명합니다(그림 5).

쌀. 5. 가장 효과적인 공동 노력 방향

얼마나 많이 안에힘의 방향이 작용하는 힘의 방향에 가까워질 정도로 기계를 미는 데 도움이 됩니다. ㅏ는 각도의 함수이며 코사인을 통해 표현됩니다(그림 6).

쌀. 6. 노력 효율성의 특성으로서의 코사인 안에

힘의 크기를 곱하면 안에, 각도의 코사인에서 우리는 그것이 작용하는 힘의 방향으로 힘의 투영을 얻습니다. ㅏ. 힘의 방향 사이의 각도가 에 가까울수록 공동 행동의 결과는 더 효과적입니다. ㅏ그리고 안에(그림 7). 동일한 힘으로 반대 방향으로 자동차를 밀면 자동차는 제자리에 유지됩니다(그림 8).

쌀. 7. 공동 노력의 효과 ㅏ그리고 안에

쌀. 8. 힘의 반대 방향 ㅏ그리고 안에

각도(최종 결과에 대한 기여도)를 코사인(또는 각도의 다른 삼각 함수)으로 대체할 수 있는 이유를 이해하는 것이 중요합니다. 사실, 이것은 유사한 삼각형의 속성에서 비롯됩니다. 실제로 우리는 다음과 같이 말하고 있기 때문에 각도는 두 숫자의 비율(변-빗변 또는 변-변)로 대체될 수 있습니다. 예를 들어, 서로 다른 직각 삼각형의 동일한 각도에 대해 이러한 비율이 다른 경우 이는 불가능합니다(그림 9).

쌀. 9. 닮음삼각형의 변의 비율이 같음

예를 들어, 비율과 비율이 다른 경우 접선 함수를 도입할 수 없습니다. 왜냐하면 서로 다른 직각 삼각형의 동일한 각도에 대해 접선이 다르기 때문입니다. 그러나 비슷한 직각 삼각형의 다리 길이의 비율이 동일하기 때문에 함수의 값은 삼각형에 의존하지 않습니다. 즉 예각과 삼각 함수의 값은 다음과 같습니다. 1-1.

특정 나무의 높이를 알고 있다고 가정합니다(그림 10). 근처 건물의 높이를 측정하는 방법은 무엇입니까?

쌀. 10. 실시예 2의 조건 예시

이 점과 집의 꼭대기를 지나는 선이 나무의 꼭대기를 통과하는 점을 찾습니다(그림 11).

쌀. 11. 예제 2의 문제에 대한 해결책 예시

우리는 이 지점에서 나무까지의 거리, 여기에서 집까지의 거리를 측정할 수 있고 나무의 높이도 알 수 있습니다. 비율을 통해 집의 높이를 알 수 있습니다.

비율두 숫자의 비율이 동일하다는 것입니다. 이 경우, 유사한 직각삼각형의 다리 길이 비율은 동일합니다. 또한 이러한 비율은 삼각 함수(정의상 접선)를 통해 표현되는 각도의 특정 측정값과 동일합니다. 우리는 각 예각에 대해 삼각 함수의 값이 고유하다는 것을 발견했습니다. 즉, 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 실제로 함수입니다. 각 예각은 각각 정확히 하나의 값에 해당하기 때문입니다. 결과적으로, 그것들은 더 자세히 탐구되고 그 속성이 사용될 수 있습니다. 모든 각도에 대한 삼각 함수 값은 이미 계산되어 사용할 수 있습니다(Bradis 표 또는 엔지니어링 계산기를 사용하여 찾을 수 있음). 그러나 역 문제를 항상 해결할 수는 없습니다(예를 들어 사인 값을 사용하여 해당 각도의 측정값을 복원하는 경우).

어떤 각도의 사인을 같거나 대략적으로 만듭니다(그림 12). 이 사인 값에 해당하는 각도는 무엇입니까? 물론 Bradis 테이블을 다시 사용하여 일부 값을 찾을 수 있지만 이것이 유일한 값은 아닌 것으로 나타났습니다(그림 13).

쌀. 12. 사인값으로 각도 찾기

쌀. 13. 역삼각함수의 다의성

결과적으로 각도의 삼각 함수 값을 재구성할 때 역삼각 함수의 다중 값 특성이 발생합니다. 어려워 보일 수도 있지만 실제로 우리는 비슷한 상황에 매일 직면합니다.

창문을 닫고 밖이 밝은지 어두운지 알 수 없거나 동굴에 있는 경우 잠에서 깨어났을 때 지금이 오후 1시인지, 밤인지, 아니면 오후 1시인지 말하기 어렵습니다. 다음날(그림 14). 사실, “지금 몇 시야?”라고 묻는다면 “시간 더하기 곱하기 어디에”라고 솔직하게 대답해야 합니다.

쌀. 14. 시계의 예를 이용한 다의어 예시

이것이 기간(시계가 지금과 같은 시간을 표시하는 간격)이라고 결론을 내릴 수 있습니다. 삼각 함수에는 사인, 코사인 등의 주기도 있습니다. 즉, 인수가 일부 변경된 후에 해당 값이 반복됩니다.

지구상에 낮과 밤의 변화나 계절의 변화가 없다면 우리는 주기적인 시간을 사용할 수 없습니다. 결국 우리는 오름차순으로 연도를 세지만 날짜에는 시간이 있고 매일 계산이 새로 시작됩니다. 상황은 달에도 동일합니다. 지금이 1월이라면 몇 달 후에 1월이 다시 올 것입니다. 외부 기준점은 예를 들어 축을 중심으로 한 지구의 회전과 하늘에서 태양과 달의 위치 변화와 같은 주기적인 시간 계산(시간, 월)을 사용하는 데 도움이 됩니다. 태양이 항상 같은 위치에 매달려 있다면 시간을 계산하기 위해 바로 이 계산이 시작된 순간부터 초(분)를 세어야 합니다. 그러면 날짜와 시간은 다음과 같이 표시됩니다: 10억 초.

결론: 역함수의 다의성 측면에서 어려움은 없습니다. 실제로 동일한 사인에 대해 서로 다른 각도 값이 있는 경우 옵션이 있을 수 있습니다(그림 15).

쌀. 15. 사인 값에서 각도 복원

보통 실무적인 문제를 풀 때는 항상 에서 ~까지의 표준 범위에서 작업합니다. 이 범위에는 삼각 함수의 각 값에 대해 각도 측정에 해당하는 값이 두 개만 있습니다.

움직이는 벨트와 모래가 쏟아지는 구멍이 있는 양동이 형태의 진자를 생각해 보세요. 진자가 흔들리고 테이프가 움직입니다(그림 16). 결과적으로 모래는 사인파라고 불리는 사인(또는 코사인) 함수의 그래프 형태로 흔적을 남깁니다.

실제로 사인과 코사인의 그래프는 기준점에서만 차이가 납니다(그 중 하나를 그린 다음 좌표축을 지우면 어떤 그래프가 그려졌는지 알 수 없습니다). 그렇다면 코사인 그래프를 그래프라고 부르는 것은 의미가 없습니다. (같은 그래프에 왜 별도의 이름을 붙이나요?)

쌀. 16. 예제 4의 문제 설명 설명

함수 그래프는 역함수가 왜 많은 값을 갖는지 이해하는 데 도움이 될 수도 있습니다. 사인값이 고정된 경우, 즉 가로축에 평행한 직선을 그린 다음 교차점에서 각도의 사인이 주어진 것과 같은 모든 점을 얻습니다. 그러한 점은 무한히 많을 것이 분명합니다. 시간 값이 로 다른 시계의 예에서와 같이 여기서만 각도 값이 양만큼 다릅니다(그림 17).

쌀. 17. 사인에 대한 다의어 예시

시계의 예를 고려하면 점(시계 방향 끝)이 원 주위를 이동합니다. 삼각 함수는 같은 방식으로 정의할 수 있습니다. 직각 삼각형의 각도가 아니라 원의 반경과 축의 양의 방향 사이의 각도를 고려하십시오. 점이 통과할 원의 수(우리는 마이너스 기호를 사용하여 시계 방향으로, 플러스 기호를 사용하여 시계 반대 방향으로 이동을 계산하기로 동의함), 이는 마침표입니다(그림 18).

쌀. 18. 원의 사인값

따라서 역함수는 특정 구간에서 고유하게 정의됩니다. 이 간격의 경우 해당 값을 계산하고 함수의 기간을 더하고 빼서 찾은 값에서 나머지를 모두 얻을 수 있습니다.

기간의 또 다른 예를 살펴보겠습니다. 차가 도로를 따라 움직이고 있습니다. 그녀의 바퀴가 페인트나 웅덩이에 빠졌다고 상상해 봅시다. 때때로 도로의 페인트 자국이나 웅덩이가 보일 수 있습니다(그림 19).

쌀. 19. 시대 삽화

학교 과정에는 삼각법 공식이 꽤 많지만 대체로 하나만 기억하면 충분합니다(그림 20).

쌀. 20. 삼각함수 공식

이중 각도 공식은 (코사인과 유사하게) 대체를 통해 합의 사인으로부터 쉽게 파생될 수도 있습니다. 제품 공식을 파생할 수도 있습니다.

실제로 문제를 해결하면 이러한 공식 자체가 기억되기 때문에 기억할 필요가 거의 없습니다. 물론 누군가는 너무 게으르기 때문에 많은 것을 결정할 수 없지만 이 기술이 필요하지 않으므로 공식 자체가 필요하지 않습니다.

그리고 공식이 필요하지 않기 때문에 외울 필요도 없습니다. 삼각함수는 예를 들어 교량을 계산하는 데 사용되는 함수라는 개념만 이해하면 됩니다. 사용과 계산 없이는 거의 어떤 메커니즘도 수행할 수 없습니다.

1. 전선이 지면과 완전히 평행할 수 있는지 여부에 대한 의문이 자주 제기됩니다. 대답: 아니요, 한 힘은 아래쪽으로 작용하고 다른 힘은 평행하게 작용하기 때문에 불가능합니다. 균형을 이룰 수 없습니다(그림 21).

2. 백조, 가재, 파이크가 같은 평면에서 수레를 당깁니다. 백조는 한 방향으로 날아가고, 가재는 다른 방향으로, 파이크는 세 번째 방향으로 날아갑니다(그림 22). 그들의 힘은 균형을 이룰 수 있습니다. 이 균형은 삼각 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다.

3. 사장교(그림 23). 삼각 함수는 케이블 수, 케이블 방향 및 장력을 계산하는 데 도움이 됩니다.

쌀. 23. 사장교

쌀. 24. “스트링 브릿지”

쌀. 25. 볼쇼이 오부코프스키 다리

사이트에 대한 링크 ma-te-ri-a-ly인터넷Urok

수학 6학년:

기하학 8학년:

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일반적으로 그들은 SCARY MATHEMATICS로 누군가를 겁주고 싶을 때 모든 종류의 사인과 코사인을 매우 복잡하고 역겨운 예로 인용합니다. 하지만 사실 이 부분은 이해하고 해결할 수 있는 아름답고 흥미로운 부분이다.
주제는 9학년부터 시작되며 처음에는 모든 것이 항상 명확하지 않으며 많은 미묘함과 트릭이 있습니다. 나는 그 주제에 관해 뭔가 말하려고 노력했다.

삼각법의 세계 소개:
공식을 급하게 시작하기 전에 기하학에서 사인, 코사인 등이 무엇인지 이해해야 합니다.
각도의 사인- 빗변에 대한 대변(각도)의 비율입니다.
코사인- 빗변에 인접한 비율.
접선- 반대쪽에서 인접한 쪽
코탄젠트- 반대편에 인접해 있습니다.

이제 좌표 평면에서 단위 반경의 원을 고려하고 그 위에 각도 알파를 표시하십시오. (적어도 일부 그림은 클릭할 수 있습니다)
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얇은 빨간색 선은 원의 교차점과 ox 및 oy 축의 직각에서 수직입니다. 빨간색 x와 y는 축의 x와 y 좌표 값입니다(회색 x와 y는 단지 선이 아니라 좌표 축임을 나타냅니다).
각도는 소축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 계산된다는 점에 유의해야 합니다.
이에 대한 사인, 코사인 등을 찾아봅시다.
sin a: 대변은 y와 같고, 빗변은 1과 같습니다.
죄 a = y / 1 = y
y와 1이 어디에서 오는지 완전히 명확하게 하기 위해 글자를 배열하고 삼각형을 살펴보겠습니다.
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AF = AE = 1 - 원의 반경.
따라서 반지름은 AB = 1입니다. AB - 빗변.
BD = CA = y - oh의 값.
AD = CB = x - oh에 따른 값입니다.
죄 a = BD / AB = y / 1 = y
다음은 코사인입니다.
cos a: 인접변 - AD = x
왜냐하면 a = AD / AB = x / 1 = x

출력도 해준다 탄젠트와 코탄젠트.
tg a = y / x = 죄 a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
갑자기 우리는 탄젠트와 코탄젠트의 공식을 도출했습니다.

자, 이것이 어떻게 해결되는지 구체적으로 살펴보겠습니다.
예를 들어 a = 45도입니다.
우리는 한 각이 45도인 직각삼각형을 얻습니다. 이것이 정삼각형이라는 것이 어떤 사람들에게는 즉시 분명해 지지만 어쨌든 설명하겠습니다.
삼각형의 세 번째 각을 구해 봅시다(첫 번째는 90, 두 번째는 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
두 각도가 같으면 그 변도 같다는 뜻입니다.
따라서 두 개의 삼각형을 서로 추가하면 반경 = 1과 같은 대각선을 갖는 정사각형을 얻게 됩니다. 피타고라스 정리에 따르면 변이 a인 정사각형의 대각선은 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다. 두 개의 뿌리.
이제 우리는 생각합니다. 1(대각선이라고도 불리는 빗변)이 제곱의 변에 2의 근을 곱한 것과 같다면, 사각형의 변은 1/sqrt(2)와 같아야 하며, 이 분수의 분자와 분모를 곱하면 2의 근으로 우리는 sqrt(2)/2 를 얻습니다. 그리고 삼각형은 이등변이므로 AD = AC => x = y
삼각함수 찾기:
죄 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
나머지 각도 값도 같은 방식으로 작업해야 합니다. 삼각형만이 이등변이 아니지만 피타고라스 정리를 사용하여 변을 쉽게 찾을 수 있습니다.
이 방법으로 우리는 다양한 각도에서 삼각함수 값의 표를 얻습니다.
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게다가 이 테이블은 부정행위를 하고 매우 편리합니다.
번거로움 없이 직접 작성하는 방법:이와 같은 표를 그리고 상자에 숫자 1 2 3을 쓰세요.
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이제 이 1 2 3에서 근을 취하고 2로 나눕니다. 결과는 다음과 같습니다:
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이제 사인을 지우고 코사인을 씁니다. 그 값은 미러링된 사인입니다.
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탄젠트는 도출하기 쉽습니다. 사인선의 값을 코사인선의 값으로 나누어야 합니다.
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코탄젠트 값은 탄젠트의 반전된 값입니다. 결과적으로 우리는 다음과 같은 결과를 얻습니다.
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메모예를 들어 P/2에는 접선이 존재하지 않습니다. 이유를 생각해 보세요. (0으로 나눌 수는 없습니다.)

여기서 기억해야 할 사항:사인은 y 값이고 코사인은 x 값입니다. 탄젠트는 y와 x의 비율이고, 코탄젠트는 그 반대입니다. 그래서 사인/코사인 값을 구하려면 위에서 설명한 표와 좌표축이 있는 원을 그리는 것으로 충분합니다. (값을 0, 90, 90 각도에서 보는 것이 편리합니다.) 180, 360).
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글쎄, 당신이 구별할 수 있기를 바랍니다 병사:
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사인, 코사인 등의 부호는 각도가 어느 분기에 있는지에 따라 다릅니다. 하지만 2쿼터와 3쿼터에서 x는 음수이고 3쿼터와 4쿼터에서는 y가 음수라는 점을 고려하면 절대적으로 원시적인 논리적 사고가 정답으로 이어질 것입니다. 무섭거나 무서운 것은 없습니다.

언급해도 나쁘지 않을 것 같아요 감소 공식모두가 듣는 것처럼 알라 유령은 진실이 있습니다. 불필요하기 때문에 공식은 없습니다. 이 전체 동작의 의미: 첫 번째 분기(30도, 45, 60)에 대해서만 각도 값을 쉽게 찾을 수 있습니다. 삼각 함수는 주기적이므로 큰 각도를 1/4로 끌어올 수 있습니다. 그러면 우리는 그 의미를 즉시 찾을 것입니다. 그러나 단순히 드래그하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 기호에 대해 기억해야 합니다. 이것이 축소 공식의 목적입니다.
따라서 우리는 큰 각도, 즉 90도보다 큰 각도(a = 120)를 갖게 됩니다. 그리고 우리는 그 사인과 코사인을 찾아야 합니다. 이를 위해 120도를 작업할 수 있는 다음 각도로 분해합니다.
죄 a = 죄 120 = 죄 (90 + 30)
우리는 이 각도가 2/4에 있고 사인이 양수이므로 사인 앞의 + 기호가 보존된다는 것을 알 수 있습니다.
90도를 없애기 위해 사인을 코사인으로 변경합니다. 음, 기억해야 할 규칙은 다음과 같습니다.
죄 (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
아니면 다른 방식으로 상상할 수도 있습니다.
죄 120 = 죄 (180 - 60)
180도를 없애기 위해 기능을 변경하지 않습니다.
죄(180 - 60) = 죄 60 = sqrt(3) / 2
동일한 값을 얻었으므로 모든 것이 정확합니다. 이제 코사인은 다음과 같습니다.
cos 120 = cos (90 + 30)
2분기의 코사인이 음수이므로 마이너스 기호를 넣습니다. 그리고 90도를 제거해야 하므로 함수를 반대 함수로 변경합니다.
cos (90 + 30) = - 죄 30 = - 1 / 2
또는:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

각도를 1분기로 전환하기 위해 알아야 할 사항, 할 수 있고 할 수 있는 것:
- 각도를 소화 가능한 용어로 분해합니다.
-각이 어느 분기에 속하는지 고려하고, 이 분기의 함수가 음수이거나 양수이면 적절한 부호를 표시합니다.
- 불필요한 것들을 제거하십시오:
*90, 270, 450과 나머지 90+180n(n은 정수)을 제거해야 하는 경우 함수가 반전됩니다(사인에서 코사인으로, 탄젠트에서 코탄젠트로, 그 반대).
*180과 나머지 180+180n(n은 임의의 정수)을 제거해야 하는 경우 함수는 변경되지 않습니다. (여기서 특징이 하나 있는데 말로 설명하기는 어렵지만 아 뭐).
그게 다야. 몇 가지 규칙만 기억하고 쉽게 사용할 수 있다면 공식 자체를 외울 필요는 없을 것 같아요. 그건 그렇고, 이 공식은 증명하기가 매우 쉽습니다.
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그리고 그들은 또한 번거로운 테이블을 컴파일하므로 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.
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삼각법의 기본 방정식:당신은 그것들을 아주 아주 잘 마음 속으로 알아야 합니다.
기본 삼각 항등식(평등):
죄^2(a) + cos^2(a) = 1
믿기지 않는다면 직접 확인해보고 판단하는 것이 좋습니다. 다른 각도의 값을 대체하십시오.
이 공식은 매우 유용합니다. 항상 기억하세요. 이를 사용하면 사인을 코사인으로 표현하거나 그 반대로 표현할 수 있는데, 이는 때때로 매우 유용합니다. 하지만 다른 공식과 마찬가지로 이를 처리하는 방법을 알아야 합니다. 삼각 함수의 부호는 각도가 위치한 사분면에 따라 달라진다는 점을 항상 기억하세요. 그렇기 때문에 루트를 추출할 때 분기를 알아야 합니다..

탄젠트 및 코탄젠트:우리는 이미 처음부터 이러한 공식을 도출했습니다.
tg a = 죄 a / cos a
cot a = cos a / 죄 a

탄젠트와 코탄젠트의 곱:
tg a * ctg a = 1
왜냐하면:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - 분수가 취소됩니다.

보시다시피 모든 공식은 게임이자 조합입니다.
첫 번째 공식을 코사인 제곱과 사인 제곱으로 나누어 얻은 두 가지가 더 있습니다.
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마지막 두 공식은 0으로 나눌 수 없기 때문에 각도 a 값에 제한을 두고 사용할 수 있습니다.

추가 공식:벡터 대수학을 사용하여 증명되었습니다.
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거의 사용되지 않지만 정확합니다. 스캔에 공식이 있지만 읽을 수 없거나 디지털 형식이 더 쉽게 인식될 수 있습니다.
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이중 각도 공식:
예를 들어 이중 각도의 코사인은 cos 2a = cos (a + a)입니다. - 기억나는 것이 있습니까? 그들은 방금 베타를 알파로 대체했습니다.
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두 개의 후속 공식은 첫 번째 치환 sin^2(a) = 1 - cos^2(a) 및 cos^2(a) = 1 - sin^2(a)에서 파생됩니다.
이중 각도의 사인은 더 간단하며 훨씬 더 자주 사용됩니다.
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그리고 특별한 변태는 tan a = sin a / cos a 등을 고려하여 이중각의 탄젠트와 코탄젠트를 유도할 수 있습니다.
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위에 언급된 분들을 대상으로 삼중 각도 공식:우리는 이미 이중각의 공식을 알고 있기 때문에 각도 2a와 a를 더하여 파생됩니다.
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반각 공식:
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어떻게 도출되었는지, 더 정확하게는 어떻게 설명해야 할지 모르겠습니다... 주요 삼각 항등식을 a/2로 대체하여 이 공식을 작성하면 답은 수렴할 것입니다.

삼각 함수의 덧셈과 뺄셈 공식:
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그것들은 덧셈 공식에서 얻어지지만, 아무도 신경쓰지 않습니다. 자주 발생하지 않습니다.

아시다시피, 여전히 공식이 많이 있습니다. 목록을 나열하는 것은 무의미합니다. 왜냐하면 이에 대해 적절한 내용을 작성할 수 없고 건조한 공식은 어디에서나 찾을 수 있으며 이전 공식을 사용한 게임이기 때문입니다. 모든 것이 매우 논리적이고 정확합니다. 마지막으로 말씀드릴께요 보조 각도 방법에 대해:
a cosx + b sinx 수식을 Acos(x+) 또는 Asin(x+) 형식으로 변환하는 것을 보조각(또는 추가 인수)을 도입하는 방법이라고 합니다. 이 방법은 삼각 방정식을 풀 때, 함수 값을 추정할 때, 극한 문제에서 사용되며 일부 문제는 보조 각도를 도입하지 않고는 해결할 수 없다는 점에 유의하는 것이 중요합니다.
이 방법을 아무리 설명하려고 해도 아무 것도 나오지 않으므로 스스로 해야 합니다.
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무서운 일이지만 유용합니다. 문제를 해결하면 문제가 해결될 것입니다.
예를 들어 여기에서: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

다음 과정은 삼각함수 그래프입니다. 하지만 한 번의 수업에는 충분합니다. 학교에서 이것을 6개월 동안 가르치는 것을 고려하면.

질문을 작성하고, 문제를 해결하고, 일부 작업에 대한 스캔을 요청하고, 알아내고, 시도해 보세요.
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