Sinus, kosinus, tangent - kur shqiptoni këto fjalë në prani të nxënësve të shkollave të mesme, mund të jeni i sigurt se dy të tretat e tyre do të humbasin interesin për bisedën e mëtejshme. Arsyeja qëndron në faktin se bazat e trigonometrisë në shkollë mësohen plotësisht të izoluara nga realiteti, dhe për këtë arsye studentët nuk e shohin kuptimin në studimin e formulave dhe teoremave.

Në fakt, pas një ekzaminimi më të afërt, kjo fushë e njohurive rezulton të jetë shumë interesante, si dhe e aplikuar - trigonometria përdoret në astronomi, ndërtim, fizikë, muzikë dhe shumë fusha të tjera.

Le të njihemi me konceptet bazë dhe të përmendim disa arsye për të studiuar këtë degë të shkencës matematikore.

Histori

Nuk dihet se në cilën pikë në kohë njerëzimi filloi të krijojë trigonometrinë e ardhshme nga e para. Sidoqoftë, është dokumentuar se tashmë në mijëvjeçarin e dytë para Krishtit, egjiptianët ishin të njohur me bazat e kësaj shkence: arkeologët gjetën një papirus me një detyrë në të cilën kërkohej të gjente këndin e prirjes së piramidës në dy anët e njohura.

Shkencëtarët e Babilonisë së Lashtë arritën suksese më serioze. Gjatë shekujve, duke studiuar astronominë, ata zotëruan një numër teoremash, prezantuan metoda të veçanta për matjen e këndeve, të cilat, meqë ra fjala, ne i përdorim sot: shkallët, minutat dhe sekondat u huazuan nga shkenca evropiane në kulturën greko-romake, në të cilën këto njësi erdhën nga babilonasit.

Supozohet se teorema e famshme e Pitagorës, në lidhje me bazat e trigonometrisë, ishte e njohur për babilonasit pothuajse katër mijë vjet më parë.

Emri

Fjalë për fjalë, termi "trigonometri" mund të përkthehet si "matje e trekëndëshave". Objekti kryesor i studimit në këtë seksion të shkencës për shumë shekuj ishte trekëndëshi kënddrejtë, ose më saktë, marrëdhënia midis madhësive të këndeve dhe gjatësive të brinjëve të tij (sot, studimi i trigonometrisë nga e para fillon me këtë seksion). . Shpesh ka situata në jetë kur është praktikisht e pamundur të maten të gjithë parametrat e kërkuar të një objekti (ose distancën nga objekti), dhe më pas bëhet e nevojshme të merren të dhënat që mungojnë përmes llogaritjeve.

Për shembull, në të kaluarën, njerëzit nuk mund të masnin distancën me objektet hapësinore, por përpjekjet për të llogaritur këto distanca ndodhën shumë përpara ardhjes së epokës sonë. Trigonometria luajti gjithashtu një rol vendimtar në lundrim: me disa njohuri, kapiteni mund të lundronte gjithmonë pranë yjeve gjatë natës dhe të rregullonte kursin.

Konceptet themelore

Përvetësimi i trigonometrisë nga e para kërkon të kuptuarit dhe kujtimin e disa termave bazë.

Sinusi i një këndi është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën. Le të sqarojmë se këmba e kundërt është ana që shtrihet përballë këndit që po shqyrtojmë. Kështu, nëse një kënd është 30 gradë, sinusi i këtij këndi gjithmonë, për çdo madhësi të trekëndëshit, do të jetë i barabartë me ½. Kosinusi i një këndi është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Tangjentja është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur (ose, që është i njëjtë, raporti i sinusit me kosinusin). Kotangjentja është njësia e ndarë me tangjenten.

Vlen të përmendet numri i famshëm Pi (3.14...), i cili është sa gjysma e gjatësisë së një rrethi me rreze prej një njësie.

Gabimet popullore

Njerëzit që mësojnë trigonometrinë nga e para bëjnë një sërë gabimesh - kryesisht për shkak të pavëmendjes.

Së pari, kur zgjidhni problemet e gjeometrisë, duhet të mbani mend se përdorimi i sinuseve dhe kosinuseve është i mundur vetëm në një trekëndësh kënddrejtë. Ndodh që një student të marrë "automatikisht" anën më të gjatë të një trekëndëshi si hipotenuzë dhe të marrë rezultate të gabuara të llogaritjes.

Së dyti, në fillim është e lehtë të ngatërroni vlerat e sinusit dhe kosinusit për këndin e zgjedhur: kujtoni se sinusi prej 30 gradë është numerikisht i barabartë me kosinusin 60, dhe anasjelltas. Nëse zëvendësoni një numër të pasaktë, të gjitha llogaritjet e mëtejshme do të jenë të pasakta.

Së treti, derisa problemi të zgjidhet plotësisht, nuk duhet të rrumbullakosni asnjë vlerë, të nxirrni rrënjë ose të shkruani një thyesë të zakonshme si dhjetore. Shpesh studentët përpiqen të marrin një numër "të bukur" në një problem trigonometrie dhe të nxjerrin menjëherë rrënjën e tre, megjithëse pas saktësisht një veprimi kjo rrënjë mund të reduktohet.

Etimologjia e fjalës "sine"

Historia e fjalës "sine" është vërtet e pazakontë. Fakti është se përkthimi fjalë për fjalë i kësaj fjale nga latinishtja do të thotë "i zbrazët". Kjo për shkak se kuptimi i saktë i fjalës humbi gjatë përkthimit nga një gjuhë në tjetrën.

Emrat e funksioneve bazë trigonometrike kanë origjinën nga India, ku koncepti i sinusit u shënua me fjalën "varg" në sanskritisht - fakti është se segmenti, së bashku me harkun e rrethit mbi të cilin mbështetej, dukeshin si një hark. . Gjatë kulmit të qytetërimit arab, arritjet indiane në fushën e trigonometrisë u huazuan dhe termi kaloi në arabisht si transkriptim. Kështu ndodhi që kjo gjuhë kishte tashmë një fjalë të ngjashme që tregonte një depresion, dhe nëse arabët e kuptonin ndryshimin fonetik midis fjalës vendase dhe asaj të huazuar, atëherë evropianët, duke përkthyer traktatet shkencore në latinisht, gabimisht përkthyen fjalë për fjalë fjalën arabe, e cila nuk kishte asgjë. të bëjë me konceptin e sinusit. E përdorim edhe sot e kësaj dite.

Tabelat e vlerave

Ka tabela që përmbajnë vlera numerike për sinuset, kosinuset dhe tangjentet e të gjitha këndeve të mundshme. Më poshtë paraqesim të dhëna për këndet 0, 30, 45, 60 dhe 90 gradë, të cilat duhet të mësohen si një pjesë e detyrueshme e trigonometrisë për "bedelet" për fat të mirë, ato janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend.

Nëse ndodh që vlera numerike e sinusit ose kosinusit të një këndi "ju ka dalë nga koka", ekziston një mënyrë për ta nxjerrë vetë.

Paraqitja gjeometrike

Le të vizatojmë një rreth dhe të vizatojmë boshtet e abshisës dhe të ordinatave përmes qendrës së tij. Boshti i abshisave është horizontal, boshti i ordinatave është vertikal. Ato zakonisht nënshkruhen respektivisht si "X" dhe "Y". Tani do të vizatojmë një vijë të drejtë nga qendra e rrethit në mënyrë që këndi që na nevojitet të merret midis tij dhe boshtit X. Së fundi, nga pika ku vija e drejtë kryqëzon rrethin, ne lëshojmë një pingul me boshtin X Gjatësia e segmentit që rezulton do të jetë e barabartë me vlerën numerike të sinusit të këndit tonë.

Kjo metodë është shumë e rëndësishme nëse keni harruar vlerën e kërkuar, për shembull, gjatë një provimi dhe nuk keni në dorë një libër shkollor të trigonometrisë. Ju nuk do të merrni një numër të saktë në këtë mënyrë, por patjetër do të shihni ndryshimin midis ½ dhe 1,73/2 (sinusi dhe kosinusi i një këndi prej 30 gradë).

Aplikacion

Disa nga ekspertët e parë që përdorën trigonometrinë ishin marinarët që nuk kishin pikë tjetër referimi në det të hapur përveç qiellit mbi kokat e tyre. Sot, kapitenët e anijeve (aeroplanët dhe mënyrat e tjera të transportit) nuk kërkojnë rrugën më të shkurtër duke përdorur yjet, por në mënyrë aktive përdorin navigimin GPS, gjë që do të ishte e pamundur pa përdorimin e trigonometrisë.

Pothuajse në çdo seksion të fizikës do të gjeni llogaritjet duke përdorur sinuset dhe kosinuset: qoftë aplikimi i forcës në mekanikë, llogaritjet e rrugës së objekteve në kinematikë, dridhjet, përhapja e valëve, thyerja e dritës - thjesht nuk mund të bëni pa trigonometrinë bazë në formulat.

Një tjetër profesion që është i paimagjinueshëm pa trigonometri është një topograf. Duke përdorur një teodolit dhe një nivel, ose një pajisje më komplekse - një takometër, këta njerëz matin ndryshimin në lartësi midis pikave të ndryshme në sipërfaqen e tokës.

Përsëritshmëria

Trigonometria merret jo vetëm me këndet dhe brinjët e një trekëndëshi, megjithëse këtu filloi ekzistenca e saj. Në të gjitha zonat ku cikli është i pranishëm (biologji, mjekësi, fizikë, muzikë, etj.) do të hasni në një grafik, emri i të cilit është ndoshta i njohur për ju - kjo është një valë sinusit.

Një grafik i tillë është një rreth i shpalosur përgjatë boshtit të kohës dhe duket si një valë. Nëse keni punuar ndonjëherë me një oshiloskop në klasën e fizikës, e dini se për çfarë po flasim. Si barazuesi i muzikës ashtu edhe monitori i rrahjeve të zemrës përdorin formulat e trigonometrisë në punën e tyre.

Së fundi

Kur mendojnë se si të mësojnë trigonometrinë, shumica e nxënësve të shkollave të mesme dhe të mesme fillojnë ta konsiderojnë atë një shkencë të vështirë dhe jopraktike, pasi ata njihen vetëm me informacione të mërzitshme nga një libër shkollor.

Sa i përket joprakticitetit, ne kemi parë tashmë se, në një shkallë ose në një tjetër, aftësia për të trajtuar sinuset dhe tangjentet kërkohet pothuajse në çdo fushë të veprimtarisë. Sa i përket kompleksitetit... Mendoni: nëse njerëzit e përdornin këtë njohuri më shumë se dy mijë vjet më parë, kur një i rritur kishte më pak njohuri se gjimnazisti i sotëm, a është realiste që ju personalisht ta studioni këtë fushë të shkencës në një nivel bazë? Disa orë praktikë të zhytur në mendime për zgjidhjen e problemeve - dhe ju do ta arrini qëllimin tuaj duke studiuar kursin bazë, të ashtuquajturën trigonometri për dummies.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Në këtë mësim do të flasim se si lind nevoja për të prezantuar funksionet trigonometrike dhe pse studiohen ato, çfarë duhet të kuptoni në këtë temë dhe ku thjesht duhet të përmirësoheni në të (çfarë është një teknikë). Vini re se teknika dhe të kuptuarit janë dy gjëra të ndryshme. Dakord, ka një ndryshim: të mësosh të ngasësh një biçikletë, domethënë të kuptosh se si ta bësh atë, ose të bëhesh një çiklist profesionist. Ne do të flasim konkretisht për të kuptuarit, se pse nevojiten funksionet trigonometrike.

Ekzistojnë katër funksione trigonometrike, por të gjitha ato mund të shprehen në termat e një duke përdorur identitete (barazitë që i lidhin ato).

Përkufizime formale të funksioneve trigonometrike për këndet akute në trekëndëshat kënddrejtë (Fig. 1).

Sinus Këndi akut i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën.

Kosinusi Këndi akut i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Tangjente Këndi akut i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.

Kotangjente Këndi akut i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i anës ngjitur me anën e kundërt.

Oriz. 1. Përcaktimi i funksioneve trigonometrike të një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë

Këto përkufizime janë formale. Është më e saktë të thuhet se ka vetëm një funksion, për shembull, sinus. Nëse ato nuk do të ishin aq të nevojshme (jo aq shpesh të përdorura) në teknologji, nuk do të futeshin kaq shumë funksione të ndryshme trigonometrike.

Për shembull, kosinusi i një këndi është i barabartë me sinusin e të njëjtit kënd me shtimin e (). Përveç kësaj, kosinusi i një këndi mund të shprehet gjithmonë përmes sinusit të të njëjtit kënd deri në shenjë, duke përdorur identitetin bazë trigonometrik (). Tangjentja e një këndi është raporti i sinusit me kosinusin ose një kotangjent i përmbysur (Fig. 2). Disa nuk përdorin fare kotangjent, duke e zëvendësuar atë me . Prandaj, është e rëndësishme të kuptoni dhe të jeni në gjendje të punoni me një funksion trigonometrik.

Oriz. 2. Lidhja ndërmjet funksioneve të ndryshme trigonometrike

Por pse nevojiteshin fare funksione të tilla? Çfarë problemesh praktike përdoren për të zgjidhur? Le të shohim disa shembuj.

Dy njerez ( A Dhe NË) shtyjeni makinën nga pellgu (Fig. 3). Njerëzore NË mund ta shtyjë makinën anash, ndërkohë që nuk ka gjasa të ndihmojë A. Nga ana tjetër, drejtimi i përpjekjeve të tij mund të ndryshojë gradualisht (Fig. 4).

Oriz. 3. NË e shtyn makinën anash

Oriz. 4. NË fillon të ndryshojë drejtimin e përpjekjeve të tij

Është e qartë se përpjekjet e tyre do të jenë më efektive kur e shtyjnë makinën në një drejtim (Fig. 5).

Oriz. 5. Drejtimi i përbashkët më efektiv i përpjekjes

Sa shumë NË ndihmon në shtytjen e makinës në atë masë që drejtimi i forcës së saj është afër drejtimit të forcës me të cilën ajo vepron A, është funksion i këndit dhe shprehet përmes kosinusit të tij (Fig. 6).

Oriz. 6. Kosinusi si karakteristikë e efikasitetit të përpjekjes NË

Nëse e shumëzojmë madhësinë e forcës me të cilën NË, me kosinusin e këndit, marrim projeksionin e forcës së tij në drejtimin e forcës me të cilën vepron. A. Sa më i afërt të jetë këndi midis drejtimeve të forcave me , aq më efektiv do të jetë rezultati i veprimeve të përbashkëta. A Dhe NË(Fig. 7). Nëse e shtyjnë makinën me të njëjtën forcë në drejtime të kundërta, makina do të qëndrojë në vend (Fig. 8).

Oriz. 7. Efektiviteti i përpjekjeve të përbashkëta A Dhe NË

Oriz. 8. Drejtimi i kundërt i forcave A Dhe NË

Është e rëndësishme të kuptojmë pse mund të zëvendësojmë një kënd (kontributi i tij në rezultatin përfundimtar) me një kosinus (ose funksion tjetër trigonometrik të një këndi). Në fakt, kjo rrjedh nga kjo veti e trekëndëshave të ngjashëm. Meqenëse në fakt po themi si vijon: këndi mund të zëvendësohet me raportin e dy numrave (anës-hipotenuzë ose anësor). Kjo do të ishte e pamundur nëse, për shembull, për të njëjtin kënd të trekëndëshave të ndryshëm kënddrejtë këta raporte do të ishin të ndryshëm (Fig. 9).

Oriz. 9. Raportet anësore të barabarta në trekëndësha të ngjashëm

Për shembull, nëse raporti dhe raporti do të ishin të ndryshëm, atëherë nuk do të mund të prezantonim funksionin tangjente, pasi për të njëjtin kënd në trekëndësha të ndryshëm kënddrejtë tangjentja do të ishte e ndryshme. Por për shkak të faktit se raportet e gjatësisë së këmbëve të trekëndëshave të ngjashëm kënddrejtë janë të njëjtë, vlera e funksionit nuk do të varet nga trekëndëshi, që do të thotë se këndi akut dhe vlerat e funksioneve të tij trigonometrike janë nje pas nje.

Supozoni se dimë lartësinë e një peme të caktuar (Fig. 10). Si të matni lartësinë e një ndërtese aty pranë?

Oriz. 10. Ilustrimi i kushtit të shembullit 2

Ne gjejmë një pikë të tillë që një vijë e tërhequr përmes kësaj pike dhe majës së shtëpisë do të kalojë përmes majës së pemës (Fig. 11).

Oriz. 11. Ilustrimi i zgjidhjes së problemit të shembullit 2

Ne mund të matim distancën nga kjo pikë në pemë, distancën nga ajo në shtëpi dhe ne e dimë lartësinë e pemës. Nga proporcioni mund të gjeni lartësinë e shtëpisë: .

proporcioniështë barazia e raportit të dy numrave. Në këtë rast, barazia e raportit të gjatësive të këmbëve të trekëndëshave të ngjashëm kënddrejtë. Për më tepër, këto raporte janë të barabarta me një masë të caktuar të këndit, e cila shprehet përmes një funksioni trigonometrik (sipas përkufizimit, kjo është një tangjente). Konstatojmë se për çdo kënd akut vlera e funksionit të tij trigonometrik është unike. Kjo do të thotë, sinusi, kosinusi, tangjentja, kotangjenta janë me të vërtetë funksione, pasi çdo kënd akut korrespondon saktësisht me një vlerë të secilit prej tyre. Rrjedhimisht, ato mund të eksplorohen më tej dhe të përdoren vetitë e tyre. Vlerat e funksioneve trigonometrike për të gjitha këndet tashmë janë llogaritur dhe mund të përdoren (ato mund të gjenden nga tabelat Bradis ose duke përdorur ndonjë kalkulator inxhinierik). Por ne nuk mund ta zgjidhim gjithmonë problemin e kundërt (për shembull, duke përdorur vlerën e sinusit për të rivendosur masën e këndit që korrespondon me të).

Le të jetë sinusi i një këndi të barabartë ose afërsisht (Fig. 12). Cili kënd do t'i korrespondojë kësaj vlere sinusi? Sigurisht, ne mund të përdorim përsëri tabelën Bradis dhe të gjejmë ndonjë vlerë, por rezulton se nuk do të jetë e vetmja (Fig. 13).

Oriz. 12. Gjetja e një këndi me vlerën e sinusit të tij

Oriz. 13. Polisemia e funksioneve trigonometrike të anasjellta

Rrjedhimisht, kur rindërtohet vlera e funksionit trigonometrik të një këndi, lind natyra shumëvlerëshe e funksioneve trigonometrike të anasjellta. Kjo mund të duket e vështirë, por në realitet ne përballemi çdo ditë me situata të ngjashme.

Nëse i mbyllni dritaret dhe nuk e dini nëse jashtë është dritë apo errësirë, ose nëse e gjeni veten në një shpellë, atëherë kur zgjoheni, është e vështirë të thuash nëse është ora një pasdite, e natës apo të nesërmen (Fig. 14). Në fakt, nëse na pyesni “sa është ora?”, duhet të përgjigjemi sinqerisht: “Ora plus shumëzuar me ku”

Oriz. 14. Ilustrimi i polisemisë duke përdorur shembullin e orës

Mund të konkludojmë se kjo është një periudhë (intervali pas të cilit ora do të tregojë të njëjtën kohë si tani). Funksionet trigonometrike kanë edhe perioda: sinus, kosinus etj. Kjo do të thotë, vlerat e tyre përsëriten pas një ndryshimi në argument.

Nëse nuk do të kishte ndryshim të ditës dhe natës ose ndryshim të stinëve në planet, atëherë nuk mund të përdornim kohën periodike. Në fund të fundit, ne numërojmë vitet vetëm në rend rritës, por ditët kanë orë, dhe çdo ditë të re numërimi fillon përsëri. Situata është e njëjtë me muajt: nëse është janari tani, atëherë pas disa muajsh do të vijë përsëri janari, etj. Pikat e jashtme të referencës na ndihmojnë të përdorim numërimin periodik të kohës (orë, muaj), për shembull, rrotullimi i Tokës rreth boshtit të saj dhe ndryshimi i pozicionit të Diellit dhe Hënës në qiell. Nëse Dielli qëndronte gjithmonë në të njëjtin pozicion, atëherë për të llogaritur kohën do të numëronim numrin e sekondave (minutave) nga momenti kur filloi pikërisht kjo llogaritje. Data dhe ora mund të lexohen kështu: një miliard sekonda.

Përfundim: nuk ka vështirësi në aspektin e polisemisë së funksioneve të anasjellta. Në të vërtetë, mund të ketë opsione kur për të njëjtin sinus ka vlera të ndryshme këndi (Fig. 15).

Oriz. 15. Rivendosja e një këndi nga vlera e sinusit të tij

Zakonisht, kur zgjidhim probleme praktike, ne gjithmonë punojmë në intervalin standard nga deri në . Në këtë interval, për secilën vlerë të funksionit trigonometrik ka vetëm dy vlera korresponduese të masës së këndit.

Konsideroni një rrip lëvizës dhe një lavjerrës në formën e një kovë me një vrimë nga e cila derdhet rëra. Lavjerrësi lëkundet, shiriti lëviz (Fig. 16). Si rezultat, rëra do të lërë një gjurmë në formën e një grafiku të funksionit të sinusit (ose kosinusit), i cili quhet valë sinus.

Në fakt, grafikët e sinusit dhe kosinusit ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në pikën e referencës (nëse vizatoni njërën prej tyre dhe më pas fshini boshtet e koordinatave, nuk do të jeni në gjendje të përcaktoni se cili grafik është vizatuar). Prandaj, nuk ka kuptim ta quajmë grafikun kosinus grafik (pse të krijohet një emër i veçantë për të njëjtin grafik)?

Oriz. 16. Ilustrimi i deklaratës së problemit në shembullin 4

Grafiku i një funksioni mund t'ju ndihmojë gjithashtu të kuptoni pse funksionet e anasjellta do të kenë shumë vlera. Nëse vlera e sinusit është fikse, d.m.th. vizatoni një vijë të drejtë paralele me boshtin e abshisës, pastaj në kryqëzim marrim të gjitha pikat në të cilat sinusi i këndit është i barabartë me atë të dhënë. Është e qartë se do të ketë një numër të pafund pikash të tilla. Ashtu si në shembullin me orën, ku vlera e kohës ndryshonte me , vetëm këtu vlera e këndit do të ndryshojë nga sasia (Fig. 17).

Oriz. 17. Ilustrimi i polisemisë për sinusin

Nëse marrim parasysh shembullin e një ore, atëherë pika (fundi në drejtim të akrepave të orës) lëviz rreth rrethit. Funksionet trigonometrike mund të përcaktohen në të njëjtën mënyrë - konsideroni jo këndet në një trekëndësh kënddrejtë, por këndin midis rrezes së rrethit dhe drejtimit pozitiv të boshtit. Numri i rrathëve nëpër të cilët do të kalojë pika (ne ramë dakord të numërojmë lëvizjen në drejtim të akrepave të orës me shenjën minus, dhe në të kundërt me një shenjë plus), kjo është një pikë (Fig. 18).

Oriz. 18. Vlera e sinusit në një rreth

Pra, funksioni i anasjelltë përcaktohet në mënyrë unike në një interval të caktuar. Për këtë interval, ne mund të llogarisim vlerat e tij dhe të marrim të gjithë pjesën tjetër nga vlerat e gjetura duke shtuar dhe zbritur periudhën e funksionit.

Le të shohim një shembull tjetër të një periudhe. Makina është duke lëvizur përgjatë rrugës. Le të imagjinojmë se rrota e saj është futur në bojë ose një pellg. Mund të shihen shenja të herëpashershme nga bojëra ose pellgje në rrugë (Figura 19).

Oriz. 19. Ilustrim i periudhës

Ka mjaft formula trigonometrike në kursin e shkollës, por në përgjithësi mjafton të mbani mend vetëm një (Fig. 20).

Oriz. 20. Formulat trigonometrike

Formula e këndit të dyfishtë gjithashtu mund të nxirret lehtësisht nga sinusi i shumës duke zëvendësuar (në mënyrë të ngjashme me kosinusin). Ju gjithashtu mund të nxirrni formulat e produktit.

Në fakt, duhet të mbani mend shumë pak, pasi me zgjidhjen e problemeve vetë këto formula do të mbahen mend. Sigurisht, dikush do të jetë shumë dembel për të vendosur shumë, por atëherë ai nuk do të ketë nevojë për këtë teknikë, dhe për këtë arsye vetë formulat.

Dhe meqenëse formulat nuk janë të nevojshme, atëherë nuk ka nevojë t'i mësoni përmendësh. Thjesht duhet të kuptoni idenë se funksionet trigonometrike janë funksione që përdoren për të llogaritur, për shembull, urat. Pothuajse asnjë mekanizëm nuk mund të bëjë pa përdorimin dhe llogaritjen e tyre.

1. Shpesh lind pyetja nëse telat mund të jenë absolutisht paralel me tokën. Përgjigje: jo, nuk munden, pasi njëra forcë vepron në rënie dhe të tjerat veprojnë paralelisht - ato kurrë nuk do të balancojnë (Fig. 21).

2. Një mjellmë, një karavidhe dhe një pike tërheqin një karrocë në të njëjtin aeroplan. Mjellma fluturon në një drejtim, karavidhe tërheq në anën tjetër dhe piku në të tretën (Fig. 22). Fuqitë e tyre mund të balancohen. Ky balancim mund të llogaritet duke përdorur funksionet trigonometrike.

3. Ura me kabllo (Fig. 23). Funksionet trigonometrike ndihmojnë në llogaritjen e numrit të kabllove, si duhet të drejtohen dhe tensionohen.

Oriz. 23. Ura me kabllo

Oriz. 24. "Ura e vargut"

Oriz. 25. Ura Bolshoi Obukhovsky

Lidhje me faqen ma-te-ri-a-lyInternetUrok

Matematika klasa e 6-të:

Gjeometria e klasës së 8-të:

- -
Zakonisht, kur duan të trembin dikë me MATEMATIKË TË FRIKSHME, përmendin si shembull lloj-lloj sinusesh dhe kosinusesh, si diçka shumë komplekse dhe të neveritshme. Por në fakt, ky është një seksion i bukur dhe interesant që mund të kuptohet dhe zgjidhet.
Tema fillon në klasën e 9-të dhe jo gjithmonë gjithçka është e qartë herën e parë, ka shumë hollësi dhe truke. U përpoqa të them diçka për këtë temë.

Hyrje në botën e trigonometrisë:
Para se të nxitoni me kokë në formula, duhet të kuptoni nga gjeometria se çfarë janë sinusi, kosinusi, etj.
Sinusi i këndit- raporti i anës së kundërt (këndit) me hipotenuzën.
Kosinusi- raporti i ngjitur me hipotenuzën.
Tangjente- ana e kundërt me anën ngjitur
Kotangjente- ngjitur me të kundërtën.

Tani merrni parasysh një rreth të rrezes së njësisë në planin koordinativ dhe shënoni disa kënd alfa në të: (fotot mund të klikohen, të paktën disa)
-
-
Vijat e holla të kuqe janë pingulja nga pika e prerjes së rrethit dhe këndi i drejtë në boshtin kau dhe oy. X dhe y e kuqe janë vlera e koordinatës x dhe y në boshtet (x dhe y gri janë vetëm për të treguar se këto janë boshte koordinative dhe jo vetëm vija).
Duhet të theksohet se këndet llogariten nga drejtimi pozitiv i boshtit të kaut në drejtim të kundërt të akrepave të orës.
Le të gjejmë sinusin, kosinusin, etj.
sin a: ana e kundërt është e barabartë me y, hipotenuza është e barabartë me 1.
sin a = y / 1 = y
Për ta bërë plotësisht të qartë se nga i marr y dhe 1, për qartësi, le t'i renditim shkronjat dhe të shohim trekëndëshat.
- -
AF = AE = 1 - rrezja e rrethit.
Prandaj AB = 1 si rreze. AB - hipotenuzë.
BD = CA = y - si vlera për oh.
AD = CB = x - si vlera sipas oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Më pas është kosinusi:
cos a: ana ngjitur - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Ne gjithashtu nxjerrim tangjente dhe kotangjente.
tg a = y / x = mëkat a / cos a
cot a = x / y = cos a / mëkat a
Papritmas kemi nxjerrë formulën për tangjenten dhe kotangjenten.

Epo, le të hedhim një vështrim konkret se si zgjidhet kjo.
Për shembull, a = 45 gradë.
Marrim një trekëndësh kënddrejtë me një kënd prej 45 gradë. Është menjëherë e qartë për disa se ky është një trekëndësh barabrinjës, por unë do ta përshkruaj gjithsesi.
Le të gjejmë këndin e tretë të trekëndëshit (i pari është 90, i dyti është 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Nëse dy kënde janë të barabarta, atëherë anët e tyre janë të barabarta, kështu dukej.
Pra, rezulton se nëse shtojmë dy trekëndësha të tillë mbi njëri-tjetrin, fitojmë një katror me një diagonale të barabartë me rreze = 1. Nga teorema e Pitagorës, ne e dimë se diagonalja e një katrori me brinjë a është e barabartë me një rrënjë prej dy.
Tani mendojmë. Nëse 1 (hipotenuza aka diagonale) është e barabartë me anën e katrorit shumëfishin e rrënjës së dy, atëherë brinja e katrorit duhet të jetë e barabartë me 1/sqrt(2), dhe nëse shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese nga rrënja e dy, marrim sqrt(2)/2. Dhe meqenëse trekëndëshi është dykëndësh, atëherë AD = AC => x = y
Gjetja e funksioneve tona trigonometrike:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Ju duhet të punoni me vlerat e mbetura të këndit në të njëjtën mënyrë. Vetëm trekëndëshat nuk do të jenë dykëndësh, por anët mund të gjenden po aq lehtë duke përdorur teoremën e Pitagorës.
Në këtë mënyrë marrim një tabelë vlerash të funksioneve trigonometrike nga kënde të ndryshme:
-
-
Për më tepër, kjo tabelë është mashtruese dhe shumë e përshtatshme.
Si ta kompozoni vetë pa asnjë sherr: Vizatoni një tabelë si kjo dhe shkruani numrat 1 2 3 në kuti.
-
-
Tani nga këto 1 2 3 merrni rrënjën dhe ndani me 2. Rezulton kështu:
-
-
Tani kalojmë sinusin dhe shkruajmë kosinusin. Vlerat e tij janë sinusi i pasqyruar:
-
-
Tangjentja është po aq e lehtë për t'u nxjerrë - ju duhet të ndani vlerën e vijës së sinusit me vlerën e vijës së kosinusit:
-
-
Vlera kotangjente është vlera e përmbysur e tangjentës. Si rezultat, marrim diçka të tillë:
- -

shënim ajo tangjente nuk ekziston në P/2, për shembull. Mendoni pse. (Ju nuk mund të pjesëtoni me zero.)

Çfarë duhet të mbani mend këtu: sinusi është vlera y, kosinusi është vlera x. Tangjentja është raporti i y me x, dhe kotangjentja është e kundërta. Pra, për të përcaktuar vlerat e sinusit / kosinusit, mjafton të vizatoni tabelën që përshkrova më lart dhe një rreth me boshte koordinative (është e përshtatshme të shikoni vlerat në kënde 0, 90, 180, 360).
- -

Epo, shpresoj se mund të dalloni lagjet:
- -
Shenja e sinusit, kosinusit etj. varet se në cilin tremujor është këndi. Megjithëse, të menduarit logjik absolutisht primitiv do t'ju çojë në përgjigjen e saktë nëse merrni parasysh se në tremujorin e dytë dhe të tretë x është negativ, dhe y është negativ në të tretën dhe të katërtin. Asgjë e frikshme apo e frikshme.

Unë mendoj se nuk do të ishte e gabuar të përmendja formulat e reduktimit ala fantazmat, siç e dëgjojnë të gjithë, që ka një kokërr të vërtetë. Nuk ka formula si të tilla, pasi ato janë të panevojshme. Vetë kuptimi i gjithë këtij veprimi: Ne i gjejmë lehtësisht vlerat e këndit vetëm për tremujorin e parë (30 gradë, 45, 60). Funksionet trigonometrike janë periodike, kështu që ne mund të tërheqim çdo kënd të madh në tremujorin e parë. Atëherë do të gjejmë menjëherë kuptimin e saj. Por thjesht zvarritja nuk mjafton - duhet të mbani mend për shenjën. Për këtë janë formulat e reduktimit.
Pra, kemi një kënd të madh, ose më mirë më shumë se 90 gradë: a = 120. Dhe ne duhet të gjejmë sinusin dhe kosinusin e tij. Për ta bërë këtë, ne do të zbërthejmë 120 në këndet e mëposhtme me të cilat mund të punojmë:
sin a = mëkat 120 = mëkat (90 + 30)
Shohim që ky kënd shtrihet në tremujorin e dytë, sinusi atje është pozitiv, prandaj shenja + para sinusit ruhet.
Për të hequr qafe 90 gradë, ne e ndryshojmë sinusin në kosinus. Epo, ky është një rregull që duhet të mbani mend:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Ose mund ta imagjinoni në një mënyrë tjetër:
mëkat 120 = mëkat (180 - 60)
Për të hequr qafe 180 gradë, ne nuk e ndryshojmë funksionin.
sin (180 - 60) = mëkat 60 = sqrt(3) / 2
Ne morëm të njëjtën vlerë, kështu që gjithçka është e saktë. Tani kosinusi:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinusi në tremujorin e dytë është negativ, ndaj vendosim shenjën minus. Dhe ne e ndryshojmë funksionin në atë të kundërt, pasi duhet të heqim 90 gradë.
cos (90 + 30) = - mëkat 30 = - 1/2
Ose:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Çfarë duhet të dini, të jeni në gjendje të bëni dhe të bëni për të transferuar këndet në tremujorin e parë:
- të zbërthejë këndin në terma të tretshëm;
-merr parasysh se në cilin tremujor është këndi dhe vendos shenjën përkatëse nëse funksioni në këtë tremujor është negativ ose pozitiv;
- Hiqni qafe gjërat e panevojshme:
*nëse duhet të heqësh qafe 90, 270, 450 dhe pjesën e mbetur 90+180n, ku n është çdo numër i plotë, atëherë funksioni është i kundërt (sinusi në kosinus, tangjenti në kotangjent dhe anasjelltas);
*nëse duhet të heqësh qafe 180 dhe pjesën e mbetur 180+180n, ku n është çdo numër i plotë, atëherë funksioni nuk ndryshon. (Këtu ka një veçori, por është e vështirë të shpjegohet me fjalë, por oh mirë).
Kjo eshte e gjitha. Nuk mendoj se është e nevojshme të mësoni përmendësh vetë formulat kur mund të mbani mend disa rregulla dhe t'i përdorni ato lehtësisht. Nga rruga, këto formula janë shumë të lehta për t'u provuar:
-
-
Dhe ata gjithashtu përpilojnë tabela të rënda, atëherë ne e dimë:
-
-

Ekuacionet bazë të trigonometrisë: ju duhet t'i njihni shumë, shumë mirë, përmendësh.
Identiteti themelor trigonometrik(barazi):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Nëse nuk e besoni, është më mirë ta kontrolloni vetë dhe ta shihni vetë. Zëvendësoni vlerat e këndeve të ndryshme.
Kjo formulë është shumë, shumë e dobishme, mbani mend gjithmonë atë. duke e përdorur atë, ju mund të shprehni sinusin përmes kosinusit dhe anasjelltas, gjë që ndonjëherë është shumë e dobishme. Por, si çdo formulë tjetër, ju duhet të dini se si ta trajtoni atë. Mos harroni gjithmonë se shenja e funksionit trigonometrik varet nga kuadranti në të cilin ndodhet këndi. Kjo është arsyeja pse gjatë nxjerrjes së rrënjës duhet të dini tremujorin.

Tangjente dhe kotangjente: Ne i kemi nxjerrë këto formula që në fillim.
tg a = mëkat a / cos a
cot a = cos a / mëkat a

Produkti i tangjentes dhe kotangjentes:
tg a * ctg a = 1
Sepse:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - thyesat janë anuluar.

Siç mund ta shihni, të gjitha formulat janë një lojë dhe një kombinim.
Këtu janë dy të tjera, të marra nga pjesëtimi me katrorin kosinus dhe katrorin sinus të formulës së parë:
-
-
Ju lutemi vini re se dy formulat e fundit mund të përdoren me një kufizim në vlerën e këndit a, pasi nuk mund të pjesëtoni me zero.

Formulat e shtimit: vërtetohen duke përdorur algjebër vektoriale.
- -
Përdoret rrallë, por me saktësi. Ka formula në skanim, por ato mund të jenë të palexueshme ose forma dixhitale është më e lehtë për t'u perceptuar:
- -

Formulat e këndit të dyfishtë:
Ato merren në bazë të formulave të mbledhjes, për shembull: kosinusi i një këndi të dyfishtë është cos 2a = cos (a + a) - ju kujton ndonjë gjë? Ata thjesht e zëvendësuan bettën me një alfa.
- -
Dy formulat pasuese rrjedhin nga zëvendësimi i parë sin^2(a) = 1 - cos^2(a) dhe cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sinusi i një këndi të dyfishtë është më i thjeshtë dhe përdoret shumë më shpesh:
- -
Dhe perversët e veçantë mund të nxjerrin tangjenten dhe kotangjenten e një këndi të dyfishtë, duke pasur parasysh se tan a = sin a / cos a, etj.
-
-

Për personat e lartpërmendur Formulat e këndit të trefishtë: ato nxirren duke shtuar këndet 2a dhe a, pasi tashmë i dimë formulat për këndet e dyfishta.
-
-

Formulat e gjysmëkëndit:
- -
Nuk e di si rrjedhin, ose më saktë, si ta shpjegoj... Nëse i shkruani këto formula, duke zëvendësuar identitetin kryesor trigonometrik me a/2, atëherë përgjigja do të konvergojë.

Formulat për mbledhjen dhe zbritjen e funksioneve trigonometrike:
-
-
Ato merren nga formulat e shtimit, por askujt nuk i intereson. Nuk ndodhin shpesh.

Siç e kuptoni, ka ende një mori formulash, renditja e cila është thjesht e kotë, sepse nuk do të jem në gjendje të shkruaj diçka adekuate për to, dhe formulat e thata mund të gjenden kudo, dhe ato janë një lojë me formulat e mëparshme ekzistuese. Gjithçka është tmerrësisht logjike dhe e saktë. Unë do t'ju them vetëm në fund në lidhje me metodën e këndit ndihmës:
Shndërrimi i shprehjes a cosx + b sinx në formën Acos(x+) ose Asin(x+) quhet metoda e paraqitjes së një këndi ndihmës (ose një argumenti shtesë). Metoda përdoret kur zgjidhen ekuacionet trigonometrike, kur vlerësohen vlerat e funksioneve, në problemet ekstreme, dhe është e rëndësishme të theksohet se disa probleme nuk mund të zgjidhen pa futur një kënd ndihmës.
Pavarësisht se si u përpoqët ta shpjegoni këtë metodë, asgjë nuk doli prej saj, kështu që do të duhet ta bëni vetë:
-
-
Një gjë e frikshme, por e dobishme. Nëse i zgjidhni problemet, duhet të funksionojë.
Nga këtu, për shembull: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Më pas në kurs janë grafikët e funksioneve trigonometrike. Por kjo mjafton për një mësim. Duke pasur parasysh se në shkollë ata e mësojnë këtë për gjashtë muaj.

Shkruani pyetjet tuaja, zgjidhni problemet, kërkoni skanime të disa detyrave, kuptoni, provoni.
Gjithmonë i yti, Dan Faraday.

Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse dëshironi të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe problemin 13 (trigonometri). Dhe këto janë më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student 100 pikësh dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, gracka dhe sekrete të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjesht dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.