三角法は何をするのですか? 三角法

サイン、コサイン、タンジェント - 高校生の前でこれらの単語を発音すると、そのうちの 3 分の 2 がそれ以上の会話に興味を失うことは間違いありません。その理由は、学校では三角法の基礎が現実から完全に切り離されて教えられているため、学生は公式や定理を勉強することに意味がないと考えているためです。

実際、詳しく調べてみると、この知識分野は非常に興味深いものであり、応用されていることがわかります。三角法は天文学、建築、物理学、音楽、その他多くの分野で使用されています。

基本的な概念を理解して、この数学分野を研究する理由をいくつか挙げてみましょう。

話

人類がいつの時点で未来の三角法をゼロから作り始めたのかは不明です。しかし、紀元前 2 千年紀にはすでにエジプト人がこの科学の基礎に精通していたことが記録されています。考古学者は、ピラミッドの既知の 2 つの側面の傾斜角を見つける必要があるという課題が書かれたパピルスを発見しました。

古代バビロンの科学者たちは、より重大な成功を収めました。何世紀にもわたって天文学を研究し、彼らは多くの定理を習得し、角度を測定するための特別な方法を導入しました。ちなみに、今日私たちはそれを使用しています。度、分、秒は、ギリシャ・ローマ文化のヨーロッパの科学から借用されたものです。これらの単位はバビロニア人から来ました。

三角法の基本に関連する有名なピタゴラスの定理は、ほぼ 4000 年前にバビロニア人に知られていたと考えられています。

名前

文字通り、「三角法」という用語は「三角形の測定」と翻訳できます。何世紀にもわたって、科学のこのセクションの主な研究対象は直角三角形、より正確には角度の大きさとその辺の長さの関係でした (今日、ゼロからの三角法の研究はこのセクションから始まります) 。生活の中で、物体に必要なすべてのパラメータ (または物体までの距離) を測定することが事実上不可能であり、計算によって欠落しているデータを取得する必要がある状況がよくあります。

たとえば、以前は人々は宇宙物体までの距離を測定できませんでしたが、これらの距離を計算する試みは、私たちの時代が到来するずっと前に行われていました。三角法は航海においても重要な役割を果たしました。ある程度の知識があれば、船長はいつでも夜に星空を頼りに航行し、針路を調整することができました。

基本概念

三角法をゼロからマスターするには、いくつかの基本用語を理解して覚える必要があります。

特定の角度の正弦は、斜辺の反対側の比率です。反対側の脚とは、検討している角度の反対側にある側であることを明確にしましょう。したがって、角度が 30 度の場合、この角度の正弦は、三角形のどのようなサイズでも常に 1/2 に等しくなります。角度の余弦は、斜辺に対する隣接する脚の比です。

タンジェントは、反対側と隣接する側の比 (または、同じ、サインとコサインの比) です。コタンジェントはタンジェントで割った単位です。

有名な円周率 (3.14...) について言及する価値があります。これは、半径 1 単位の円の長さの半分です。

よくある間違い

三角関数をゼロから学習する人は、多くの間違いを犯しますが、そのほとんどは不注意によるものです。

まず、幾何学の問題を解くときは、サインとコサインの使用が直角三角形でのみ可能であることを覚えておく必要があります。学生が「自動的に」三角形の最長辺を斜辺として取り、誤った計算結果が得られることが起こります。

次に、最初は、選択した角度のサインとコサインの値を混同しやすいです。30 度のサインは数値的に 60 度のコサインに等しく、その逆も同様であることを思い出してください。間違った数値を代入すると、それ以降の計算はすべて正しくなくなります。

第三に、問題が完全に解決されるまでは、値を四捨五入したり、根を抽出したり、公用分数を小数として書き込んだりしないでください。多くの場合、学生は三角法の問題で「美しい」数値を得ようと努力し、すぐに 3 の根を抽出しますが、たった 1 回の操作でこの根は縮小できます。

「サイン」という言葉の語源

「サイン」という言葉の歴史は実に特殊です。実際、ラテン語からのこの言葉の直訳は「空洞」を意味します。これは、ある言語から別の言語に翻訳する際に、その単語の正しい理解が失われるためです。

基本的な三角関数の名前はインドに由来しており、インドではサインの概念がサンスクリット語の「弦」という言葉で示されていました。実際、セグメントは、そのセグメントが置かれている円の弧とともに弓のように見えました。。アラブ文明の全盛期には、三角法の分野におけるインドの業績が借用され、この用語は転写としてアラビア語に伝わりました。偶然にも、この言語にはうつ病を表す同様の単語がすでに存在しており、アラブ人がネイティブの単語と外来語の音声の違いを理解していれば、ヨーロッパ人は科学論文をラテン語に翻訳する際に、何も持たないアラビア語を誤って文字通りに翻訳してしまいました。正弦の概念と関係があります。私たちは今でもそれを使っています。

値の表

考えられるすべての角度のサイン、コサイン、タンジェントの数値を含むテーブルがあります。以下に、角度 0、30、45、60、90 度のデータを示しますが、これらは「ダミー」のための三角法の必須セクションとして学習する必要があり、幸いなことに、覚えておくのは非常に簡単です。

角度のサインまたはコサインの数値が「頭から離れた」場合でも、自分で求める方法があります。

幾何学的表現

円を描き、その中心を通る横軸と縦軸を描きましょう。横軸は水平、縦軸は垂直です。通常、これらはそれぞれ「X」および「Y」として署名されます。次に、円の中心から直線を引き、円と X 軸の間に必要な角度が得られるようにします。最後に、直線が円と交差する点から X 軸に垂線を引きます。結果として得られる線分の長さは、角度の正弦の数値と等しくなります。

この方法は、たとえば試験中に必要な値を忘れた場合や、手元に三角関数の教科書がない場合に非常に役立ちます。この方法では正確な数値は得られませんが、1/2 と 1.73/2 (角度 30 度のサインとコサイン) の違いは明らかです。

応用

三角法を最初に使用した専門家の中には、外海では頭上の空以外に基準点を持たなかった船員もいた。今日、船 (飛行機やその他の交通手段) の船長は、星を使って最短経路を探すのではなく、積極的に GPS ナビゲーションに頼っていますが、これは三角法の使用なしでは不可能です。

物理学のほぼすべてのセクションで、サインとコサインを使用した計算が見つかります。力学における力の適用、運動学における物体の経路の計算、振動、波の伝播、光の屈折など、基本的な三角法なしでは実行できません。数式で。

三角法なしでは考えられないもう 1 つの職業は測量士です。彼らは、セオドライトと水準器、またはより複雑な装置であるタコメーターを使用して、地表上の異なる点間の高さの差を測定します。

再現性

三角法は三角形の角度と辺だけを扱いませんが、これが三角形の存在の始まりです。周期性が存在するすべての分野 (生物学、医学、物理学、音楽など) では、おそらく馴染みのある名前のグラフに遭遇するでしょう。これは正弦波です。

このようなグラフは、円を時間軸に沿って展開したものであり、波のように見えます。物理の授業でオシロスコープを使ったことがある人なら、私たちが何を言っているのかわかるでしょう。音楽イコライザーと心拍数モニターはどちらも、その動作に三角法の公式を使用しています。

ついに

三角関数の学習方法を考えるとき、ほとんどの中学生や高校生は教科書で退屈な情報しか知らないため、三角関数は難しく非現実的な科学であると考え始めます。

非実用性に関しては、サインとタンジェントを処理する能力が、ほぼすべての活動分野である程度必要であることがすでにわかりました。複雑さについては…考えてみてください。2000 年以上前、大人の知識が今日の高校生よりも知識が少なかったときに、人々がこの知識を使用していたとしたら、あなた個人がこの科学分野を基礎レベルで学ぶのは現実的でしょうか? 問題を解く練習を数時間じっくりと行い、基礎コース、いわゆるダミー用の三角関数を学習することで目標を達成できます。

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このレッスンでは、三角関数を導入する必要性がどのようにして生じるのか、なぜ三角関数を研究するのか、このトピックで何を理解する必要があるのか、どこを改善する必要があるのか (テクニックとは何なのか) について説明します。技術と理解は別のものであることに注意してください。同意します。違いはあります。自転車の乗り方を学ぶこと、つまり乗り方を理解することと、プロのサイクリストになることです。三角関数がなぜ必要なのか、理解について具体的に話します。

三角関数は 4 つありますが、恒等式 (三角関数を関係付ける等式) を使用すると、すべて 1 つの関数で表すことができます。

直角三角形の鋭角に対する三角関数の正式な定義 (図 1)。

副鼻腔直角三角形の鋭角は、斜辺に対する反対側の辺の比です。

余弦直角三角形の鋭角は、隣接する脚と斜辺の比です。

正接直角三角形の鋭角は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。

コタンジェント直角三角形の鋭角は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

米。 1. 直角三角形の鋭角の三角関数の求め方

これらの定義は形式的なものです。関数は 1 つだけ (たとえば、sine) だけであると言ったほうが正確です。テクノロジーにおいて三角関数がそれほど必要とされない (それほど頻繁に使用されない) 場合、これほど多くの異なる三角関数は導入されないでしょう。

たとえば、角度のコサインは、同じ角度のサインに () を追加したものと等しくなります。さらに、角度の余弦は、基本的な三角関数恒等式 () を使用して、符号までの同じ角度の正弦を通して常に表現できます。角度の正接は、サインとコサインの比、または逆余接です (図 2)。コタンジェントをまったく使用せず、コタンジェントをに置き換えるものもあります。したがって、1 つの三角関数を理解し、操作できることが重要です。

米。 2. 各種三角関数の関係

しかし、そもそもなぜそのような機能が必要だったのでしょうか? それらはどのような実際的な問題を解決するために使用されますか? いくつかの例を見てみましょう。

二人（あそしてで）車を水たまりから押し出します（図3）。人間で車を横に押すことはできますが、役に立ちそうにありませんあ。一方で、彼の努力の方向性は徐々に変化する可能性があります（図4）。

米。 3. で車を横に押す

米。 4. で彼の努力の方向を変え始める

車を一方向に押すときに、彼らの努力が最も効果的であることは明らかです (図 5)。

米。 5. 最も効果的な共同作業の方向性

いくらで力の方向が作用する力の方向に近い範囲まで機械を押すのに役立ちます。あ、は角度の関数であり、その余弦によって表されます (図 6)。

米。 6. 努力効率の特性としてのコサインで

かかる力の大きさを掛け合わせると、で、角度の余弦で、その力が作用する力の方向への投影が得られます。あ。力の方向間の角度がに近づくほど、共同作用の結果はより効果的になります。あそしてで(図7)。同じ力で車を反対方向に押すと、車はその場に留まります (図 8)。

米。 7. 共同の取り組みの有効性あそしてで

米。 8. 力の方向が反対あそしてで

角度 (最終結果への寄与) をコサイン (または角度の他の三角関数) に置き換えることができる理由を理解することが重要です。実際、これは相似な三角形のこの性質から導き出されます。実際、次のことを言っているので、角度は 2 つの数値 (辺斜辺または辺辺) の比に置き換えることができます。たとえば、異なる直角三角形の同じ角度に対して、これらの比率が異なる場合、これは不可能です (図 9)。

米。 9. 相似な三角形の等辺比

たとえば、比と比が異なる場合、異なる直角三角形の同じ角度に対して接線が異なるため、正接関数を導入することはできません。しかし、同様の直角三角形の足の長さの比率は同じであるという事実により、関数の値は三角形に依存しません。つまり、鋭角とその三角関数の値は次のようになります。 1対1。

ある木の高さがわかっているとします (図 10)。近くの建物の高さを測るにはどうすればよいですか?

米。 10. 例 2 の状態の図解

この点と家の頂上を通って引かれた線が木の頂上を通過するような点を見つけます (図 11)。

米。 11. 例 2 の問題の解決策の図解

この点から木までの距離、そこから家までの距離を測ることができ、木の高さがわかります。比率から家の高さがわかります。

割合は 2 つの数値の比が等しいことを表します。この場合、相似な直角三角形の脚の長さの比が等しいことになります。さらに、これらの比率は、三角関数 (定義により、これは正接) で表される角度の特定の尺度に等しくなります。鋭角ごとに、その三角関数の値が一意であることがわかります。つまり、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、それぞれの鋭角がそれぞれの 1 つの値に正確に対応するため、実際には関数です。その結果、それらをさらに調査し、その特性を使用することができます。すべての角度の三角関数の値はすでに計算されており、使用することができます (これらは、Bradis の表から、または工学計算機を使用して見つけることができます)。しかし、逆問題を常に解決できるわけではありません (たとえば、サインの値を使用して、それに対応する角度の尺度を復元するなど)。

ある角度の正弦が等しいか、ほぼ等しいとします (図 12)。この正弦値に対応する角度は何でしょうか? もちろん、再び Bradis テーブルを使用して何らかの値を見つけることはできますが、それだけではないことがわかります (図 13)。

米。 12. サインの値から角度を求める

米。 13. 逆三角関数の多義性

したがって、角度の三角関数の値を再構成する場合、逆三角関数の多値性が生じます。難しいように思えるかもしれませんが、実際には私たちは毎日同じような状況に直面しています。

窓にカーテンを閉めても、外が明るいのか暗いのか分からない場合や、自分が洞窟にいることに気づいた場合、目が覚めたときに、今が午後一時なのか、それとも夜中なのか、それともなのかわかりません。翌日（図14）。実際、「今何時ですか?」と尋ねられたら、「時間に場所を掛けたもの」と正直に答えなければなりません。

米。 14. 時計を例にした多義性の図解

これは一定期間 (時計が現在と同じ時刻を示すまでの間隔) であると結論付けることができます。三角関数には、サイン、コサインなどの周期もあります。つまり、引数が何らかの変更された後、それらの値が繰り返されます。

地球上に昼と夜の変化や季節の変化がなければ、周期的な時間を使用することはできません。結局のところ、私たちは年を昇順に番号を付けるだけですが、一日には時間があり、毎日新たに数え始めます。状況は月についても同じです。つまり、今が 1 月であれば、数か月後にはまた 1 月が来る、というようになります。外部基準点は、地球の地軸を中心とした回転や空の太陽と月の位置の変化など、時間 (時間、月) を定期的に計測するのに役立ちます。太陽が常に同じ位置にぶら下がっている場合、時間を計算するには、この計算が始まった瞬間からの秒数 (分) を数えることになります。日付と時刻は次のようになります: 10 億秒。

結論: 逆関数の多義性に関しては何の問題もありません。実際、同じ正弦に対して異なる角度値がある場合にはオプションが存在する可能性があります (図 15)。

米。 15. サインの値から角度を復元する

通常、実際的な問題を解決するときは、常にからまでの標準範囲で作業します。この範囲では、三角関数の各値に対して、対応する角度測定値が 2 つだけ存在します。

動くベルトと、砂が流れ出す穴のあるバケツの形をした振り子を考えてみましょう。振り子が揺れ、テープが動きます（図16）。その結果、砂はサイン波と呼ばれるサイン（またはコサイン）関数のグラフの形で跡を残します。

実はサインとコサインのグラフは基準点が違うだけです（どちらか一方を描いて座標軸を消すとどちらのグラフを描いたのか分からなくなります）。したがって、コサイングラフをグラフと呼ぶことに意味はありません (なぜ同じグラフに別の名前を思いつくのでしょうか)。

米。 16. 例 4 の問題文の図解

関数のグラフは、逆関数が多くの値を持つ理由を理解するのにも役立ちます。サインの値が固定されている場合、つまり横軸に平行な直線を引き、その交点で角度の正弦が指定された正弦と等しい点をすべて取得します。そのような点が無限に存在することは明らかです。時計の例のように、時間の値がだけ異なりますが、ここでのみ角度の値がその量だけ異なります (図 17)。

米。 17. 正弦の多義性の図

時計の例で考えると、点（時計回りの端）が円の周りを移動します。三角関数も同じ方法で定義できます。直角三角形の角度ではなく、円の半径と軸の正の方向の間の角度を考慮します。点が通過する円の数 (マイナス記号で時計回り、プラス記号で反時計回りの動きを数えることに同意しました)、これは周期です (図 18)。

米。 18. 円上の正弦の値

したがって、逆関数は一定の区間で一意に定義されます。この間隔については、その値を計算し、関数の期間を加算および減算することで、見つかった値から残りをすべて取得できます。

期間の別の例を見てみましょう。車が道路に沿って走っています。彼女の車輪がペンキや水たまりに衝突したと想像してみましょう。場合によっては、ペイントの跡や道路の水たまりが見られることがあります (図 19)。

米。 19.時代イラスト

学校の授業にはかなり多くの三角関数の公式がありますが、基本的には 1 つだけ覚えておけば十分です (図 20)。

米。 20. 三角関数の公式

倍角の公式は、和のサインを代入することで簡単に導出することもできます (コサインの場合も同様)。積の式を導き出すこともできます。

実際、問題を解くことでこれらの公式自体が記憶されるため、覚えておく必要があるものはほとんどありません。もちろん、誰かがあまりにも怠惰すぎて多くを決定することはできませんが、その場合、彼はこのテクニック、つまり式自体を必要としません。

公式は必要ないので、覚える必要もありません。三角関数は、たとえば橋の計算に使用される関数であるという概念を理解するだけで十分です。ほとんどのメカニズムは、それらの使用と計算なしには機能しません。

1. ワイヤを地面に対して完全に平行にできるかどうかという疑問がよく起こります。答え: いいえ、できません。1 つの力は下向きに作用し、他の力は平行に作用するため、バランスがとれることはありません (図 21)。

2. 白鳥、ザリガニ、パイクが同じ飛行機で荷車を引きます。白鳥は一方向に飛び、ザリガニはもう一方の方向に引き寄せられ、パイクは三番目の方向に引き寄せられます（図22）。それらの力のバランスを取ることができます。このバランスは三角関数を使用して計算できます。

3.斜張橋（図23）。三角関数は、ケーブルの数、ケーブルの方向と張力をどのようにするかを計算するのに役立ちます。

米。 23. 斜張橋

米。 24.「弦の橋」

米。 25. ボリショイ・オブホフスキー橋

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数学6年生：

幾何学 8 年生:

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通常、「怖い数学」で誰かを怖がらせたいとき、彼らは非常に複雑で嫌なものとして、あらゆる種類のサインやコサインを例として挙げます。しかし実際には、これは理解して解決できる美しくて興味深いセクションです。
このトピックは 9 年生から始まり、最初からすべてが必ずしも明確になるわけではなく、多くの微妙な点やコツがあります。私はその話題について何か言おうとした。

三角法の世界への紹介:
数式に真っ向から取り組む前に、サイン、コサインなどが何であるかを幾何学から理解する必要があります。
角度の正弦- 斜辺に対する反対側（角度）の比率。
余弦- 斜辺に隣接する比率。
正接- 反対側から隣接する側へ
コタンジェント- 反対側に隣接しています。

ここで、座標平面上の単位半径の円を考え、その上に角度アルファをマークします: (少なくとも一部の画像はクリック可能です)
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細い赤い線は、円とox軸とoy軸の直角の交点からの垂線です。赤い x と y は、軸上の x と y 座標の値です (灰色の x と y は、これらが単なる線ではなく座標軸であることを示すためのものです)。
角度は、ox 軸の正の方向から反時計回りに計算されることに注意してください。
それのサイン、コサインなどを見つけてみましょう。
sin a: 反対側は y に等しく、斜辺は 1 に等しい。
sin a = y / 1 = y
y と 1 の由来を完全に明確にするために、文字を並べて三角形を見てみましょう。
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AF = AE = 1 - 円の半径。
したがって、半径は AB = 1 となります。 AB - 斜辺。
BD = CA = y - oh の値として。
AD = CB = x - oh による値として。
sin a = BD / AB = y / 1 = y
次はコサインです。
cos a: 隣接する辺 - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

アウトプットもします タンジェントとコタンジェント.
tg a = y / x = sin a / cos a
cot a = x / y = cos a / sin a
突然、タンジェントとコタンジェントの公式が導かれました。

さて、これをどのように解決するかを具体的に見てみましょう。
たとえば、a = 45 度です。
1 つの角度が 45 度の直角三角形が得られます。これが正三角形であることはすぐにわかる人もいますが、とにかく説明します。
三角形の 3 番目の角度を見つけてみましょう (1 番目は 90、2 番目は 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
2 つの角度が等しい場合、それらの辺も等しい、それがそのように聞こえました。
したがって、このような三角形を 2 つ重ね合わせると、対角線が半径 = 1 に等しい正方形が得られることがわかります。ピタゴラスの定理により、辺が a の正方形の対角線は次の値に等しいことがわかります。 2つのルーツ。
今、私たちは考えます。 1 (斜辺、別名対角線) が正方形の辺に 2 の根を掛けた値に等しい場合、正方形の辺は 1/sqrt(2) に等しくなります。また、この分数の分子と分母を掛けると、 2 の根によって、 sqrt(2)/2 が得られます。三角形は二等辺なので、AD = AC => x = y
三角関数を見つける:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
残りの角度値も同様に操作する必要があります。三角形だけが二等辺ではありませんが、辺はピタゴラスの定理を使用して同じように簡単に見つけることができます。
このようにして、さまざまな角度からの三角関数の値の表を取得します。
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しかもこのテーブルはズルくてとても便利です。
手間をかけずに自分で作成する方法:このような表を描き、ボックスの中に数字 1 2 3 を書きます。
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ここで、これら 1 2 3 からルートを取得し、2 で割ります。次のようになります。
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次に、サインを取り消してコサインを書きます。その値は鏡映正弦です。
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タンジェントの導出も同様に簡単です。サイン線の値をコサイン線の値で割る必要があります。
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コタンジェント値は、タンジェントを反転した値です。その結果、次のような結果が得られます。
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注記たとえば、その接線は P/2 には存在しません。その理由を考えてみましょう。 (ゼロで割ることはできません。)

ここで覚えておく必要があること:サインは y 値、コサインは x 値です。タンジェントは y と x の比であり、コタンジェントはその逆です。したがって、サイン/コサインの値を決定するには、上で説明したテーブルと座標軸を持つ円を描くだけで十分です（角度0、90、 180、360）。
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まあ、区別できるといいのですが 四半期:
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サイン、コサインなどの符号は、角度がどの四半期にあるかによって異なります。ただし、第 2 四半期と第 3 四半期では x が負であり、第 3 四半期と第 4 四半期では y が負であることを考慮すれば、完全に原始的な論理的思考によって正しい答えが導き出されます。怖いことも怖いことも何もありません。

挙げても間違いないと思います 換算式誰もが聞いているように、ああ幽霊、これには一片の真実があります。不要なため、そのような公式はありません。このアクション全体の意味: 最初の四半期 (30 度、45、60 度) のみの角度値を簡単に見つけることができます。三角関数は周期的であるため、大きな角度を最初の四半期にドラッグできます。そうすれば、すぐにその意味がわかります。ただし、単にドラッグするだけでは十分ではありません。記号について覚えておく必要があります。これが還元式の目的です。
したがって、大きな角度、つまり 90 度を超えています: a = 120。そして、そのサインとコサインを見つける必要があります。これを行うために、120 を次の作業可能な角度に分解します。
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
この角度は第 2 四半期にあり、そこのサインは正であるため、サインの前の + 記号は保持されることがわかります。
90 度を取り除くには、サインをコサインに変更します。さて、これは覚えておく必要があるルールです。
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
あるいは、別の方法で想像することもできます。
罪 120 = 罪 (180 - 60)
180 度をなくすために関数は変更しません。
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
同じ値が得られたので、すべて正しいです。コサインは次のようになります。
cos 120 = cos (90 + 30)
第 2 四半期のコサインは負であるため、マイナス記号を付けます。そして、90 度を削除する必要があるため、関数を反対の関数に変更します。
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
または：
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

角度を第 1 四半期に移すために知っておくべきこと、できること、行うべきことは次のとおりです。
- 角度をわかりやすい用語に分解します。
- 角度がどの四半期にあるかを考慮し、この四半期の関数が負であるか正である場合に適切な符号を付けます。
- 不要なものを取り除く：
*90、270、450、および残りの 90+180n (n は任意の整数) を削除する必要がある場合、関数は逆になります (サインからコサイン、タンジェントからコタンジェント、またはその逆)。
*180 と残りの 180+180n (n は任意の整数) を取り除く必要がある場合、関数は変わりません。（ここに特徴が1つありますが、言葉で説明するのは難しいですが、まあ）。
それだけです。いくつかのルールを覚えて簡単に使用できる場合は、公式自体を覚える必要はないと思います。ちなみに、これらの公式は非常に簡単に証明できます。
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また、面倒なテーブルもコンパイルされていることから、次のことが分かります。
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三角法の基本方程式:あなたはそれらを心からよく知っている必要があります。
基本的な三角関数の恒等式（平等）：
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
信じられない場合は、自分で調べて確認した方が良いでしょう。さまざまな角度の値を代入します。
この公式は非常に便利なので、常に覚えておいてください。これを使用すると、サインからコサイン、またはその逆を表現でき、非常に便利な場合があります。ただし、他の式と同様に、その処理方法を知っておく必要があります。三角関数の符号は、角度が位置する象限に依存することを常に覚えておいてください。それが理由ですルートを抽出するときは、四半期を知る必要があります.

タンジェントとコタンジェント:これらの公式は最初の時点ですでに導出されています。
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

正接と余接の積:
tg a * ctg a = 1
なぜなら：
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - 端数はキャンセルされます。

ご覧のとおり、すべての公式はゲームであり、組み合わせです。
最初の式のコサイン 2 乗とサイン 2 乗で除算して得られる、さらに 2 つの式を次に示します。
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ゼロで割ることはできないため、最後の 2 つの公式は角度 a の値に制限付きで使用できることに注意してください。

加算式:はベクトル代数を使って証明されます。
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めったに使用されませんが、正確に使用されます。スキャン画像には数式がありますが、判読できない場合があるか、デジタル形式の方が認識しやすい場合があります。
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倍角の公式:
これらは加算公式に基づいて取得されます。たとえば、倍角の余弦は cos 2a = cos (a + a) です。これを見て何か思い出しますか? 彼らはベタをアルファに置き換えただけです。
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後続の 2 つの式は、最初の置換 sin^2(a) = 1 - cos^2(a) および cos^2(a) = 1 - sin^2(a) から導出されます。
倍角のサインはより単純で、より頻繁に使用されます。
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そして特別な変質者は、tan a = sin a / cos a などを仮定して、倍角の正接と余接を導き出すことができます。
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上記の方へ 三重角の公式:倍角の公式はすでに知っているので、それらは角度 2a と a を加算することによって導出されます。
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半角の公式:
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それらがどのように導出されるのか、より正確には、それをどのように説明するのかわかりません...これらの公式を書き、主要な三角関数恒等式を a/2 に置き換えると、答えは収束します。

三角関数の加算と減算の公式:
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これらは加算公式から得られますが、誰も気にしません。それらは頻繁には起こりません。

ご理解のとおり、まだたくさんの公式があり、それを列挙するのはまったく無意味です。なぜなら、それらについて適切なことを書くことができないからです。無味乾燥な公式はどこにでも見つかりますし、それらは以前の既存の公式とのゲームです。すべてが非常に論理的で正確です。最後にだけ言っておきます 補助角度法について:
a cosx + b sinx という式を Acos(x+) または Asin(x+) の形式に変換することを、補助角度 (または追加の引数) を導入する方法と呼びます。この方法は、三角方程式を解くとき、関数の値を推定するとき、極値問題で使用されますが、一部の問題は補助角を導入しないと解けないことに注意することが重要です。
この方法をどのように説明しようとしても、何も得られないため、自分で行う必要があります。
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恐ろしいことですが、便利です。問題を解決すれば、うまくいくはずです。
ここから、たとえば: mschool.kubsu.ru/cdo/shavetur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

コースの次は三角関数のグラフです。しかし、1回のレッスンでは十分です。学校ではこれを6か月間教えていることを考えると。

質問を書き、問題を解決し、いくつかのタスクのスキャンを依頼し、それを理解し、試してください。
ダン・ファラデー、いつもあなたのものです。

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